Google
Câu hỏi: Cho đường tròn (O) và hai điểm \(A, B\) nằm bên ngoài đường tròn. Dựng đường kính \(COD\) sao cho \(AC = BD.\)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
Các bước dựng hình:
+ Dựng điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(O.\)
+ Dựng đường trung trực d của \(A'B\), cắt (O) tại \(D\).
+ Dựng đường kính \(COD\).
Lời giải chi tiết
* Cách dựng
− Dựng \(A'\) đối xứng với \(A\) qua tâm \(O\) của đường tròn.
− Dựng đường thẳng \(d\) là đường trung trực của \(A’B.\)
− Gọi giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường tròn (O) là \(D.\)
− Dựng đường kính \(COD.\)
* Chứng minh
Ta có: \(OA = OA’\) (do A và A' đối xứng nhau qua O) và \(OD = OC\) (do C, D cùng thuộc đường tròn (O))
Suy ra tứ giác \(ACA’D\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo AA' và CD giao nhau tại trung điểm O của mỗi đường)
Suy ra: \(AC = A’D\) (tính chất hình bình hành)
Lại có: \(A’D = DB\) (tính chất đường trung trực)
Suy ra: \(AC = BD.\)
Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
Các bước dựng hình:
+ Dựng điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(O.\)
+ Dựng đường trung trực d của \(A'B\), cắt (O) tại \(D\).
+ Dựng đường kính \(COD\).
Lời giải chi tiết
* Cách dựng
− Dựng \(A'\) đối xứng với \(A\) qua tâm \(O\) của đường tròn.
− Dựng đường thẳng \(d\) là đường trung trực của \(A’B.\)
− Gọi giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường tròn (O) là \(D.\)
− Dựng đường kính \(COD.\)
* Chứng minh
Ta có: \(OA = OA’\) (do A và A' đối xứng nhau qua O) và \(OD = OC\) (do C, D cùng thuộc đường tròn (O))
Suy ra tứ giác \(ACA’D\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo AA' và CD giao nhau tại trung điểm O của mỗi đường)
Suy ra: \(AC = A’D\) (tính chất hình bình hành)
Lại có: \(A’D = DB\) (tính chất đường trung trực)
Suy ra: \(AC = BD.\)