Google
Câu hỏi: Cho hình chóp \(S. ABC\) có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, \(SA = a, SB = b, SC = c\) và ba cạnh \(SA, SB, SC\) đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó.
Phương pháp giải
+) Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(S=4 \pi r^2.\)
+) Công thức tính thể tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(V=\dfrac{4}{3} \pi r^3.\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác \(S. ABC\). Hạ \(IJ\) vuông góc \((SAB)\), vì \(I\) cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\) nên \(J\) cũng cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\).
Vì tam giác \(SAB\) vuông đỉnh \(S\) nên \(J\) là trung điểm của \(AB\).
Ta có \(SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
Do \(SC\) vuông góc \((SAB)\) nên \(IJ // SC\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(SC\), ta có \(SH = IJ = {c \over 2}\).
Do vậy, \(I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} \over 4}\) và bán kính hình cầu ngoại tiếp \(S. ABC\) là
\(R = IS = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Diện tích mặt cầu là:
\(S = 4\pi {R^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\)
+) Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(S=4 \pi r^2.\)
+) Công thức tính thể tích mặt cầu bán kính \(r\) là: \(V=\dfrac{4}{3} \pi r^3.\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác \(S. ABC\). Hạ \(IJ\) vuông góc \((SAB)\), vì \(I\) cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\) nên \(J\) cũng cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\).
Vì tam giác \(SAB\) vuông đỉnh \(S\) nên \(J\) là trung điểm của \(AB\).
Ta có \(SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)
Do \(SC\) vuông góc \((SAB)\) nên \(IJ // SC\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(SC\), ta có \(SH = IJ = {c \over 2}\).
Do vậy, \(I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} \over 4}\) và bán kính hình cầu ngoại tiếp \(S. ABC\) là
\(R = IS = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Diện tích mặt cầu là:
\(S = 4\pi {R^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\)