Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Lời giải chi tiết
* Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: AB, BC, AC lần lượt tại M, N và P.
Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp (ABC) ⇒ IJ ⊥ (ABC)
* Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}JM \bot AB\\JI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow IM \bot AB\) (định lí 3 đường vuông góc)
Chứng minh tương tự có:\(IN \bot BC, IP \bot AC\) (1)
* Xét ba tam giác JIM; JIN và JIP có:
\(\widehat {JIM} = \widehat {JIN} = \widehat {JIP} = {90^0}\)
\(JI\) chung
\(JN = JM = JP = R\)
⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (ch- cgv)
⇒ IN = IM = IP (2)
Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
* Lấy điểm J thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt taị M, N và P.
Ta có: \(IM \bot AB, IN \bot BC, IP \bot AC\) (1)
Mặt khác; IM = IN = IP = r.
⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (c-g-c)
⇒ JM = JN = JP (2)
Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.
Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
* Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: AB, BC, AC lần lượt tại M, N và P.
Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp (ABC) ⇒ IJ ⊥ (ABC)
* Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}JM \bot AB\\JI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow IM \bot AB\) (định lí 3 đường vuông góc)
Chứng minh tương tự có:\(IN \bot BC, IP \bot AC\) (1)
* Xét ba tam giác JIM; JIN và JIP có:
\(\widehat {JIM} = \widehat {JIN} = \widehat {JIP} = {90^0}\)
\(JI\) chung
\(JN = JM = JP = R\)
⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (ch- cgv)
⇒ IN = IM = IP (2)
Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
* Lấy điểm J thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt taị M, N và P.
Ta có: \(IM \bot AB, IN \bot BC, IP \bot AC\) (1)
Mặt khác; IM = IN = IP = r.
⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (c-g-c)
⇒ JM = JN = JP (2)
Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.
Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.