Bài 5 trang 49 SGK Hình học lớp 12

Câu hỏi: Từ một điểm \(M\) nằm nằm bên ngoài mặt cầu \(S( O; r)\) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại \(A, B\) và \(C, D\).

Câu a​

a) Chứng minh rằng \(MA. MB = MC. MD\).
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.
+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.
Lời giải chi tiết:

Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng\((P)\) cắt mặt cầu \(S(O; r)\) theo một đường tròn tâm \(I\), là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên mặt phẳng \((P)\).
Xét hai tam giác \(MAD\) và \(MCB\) có:
+) \(\widehat B = \widehat D\) (Hai góc cùng chắn một cung)
+) \(\widehat M\) chung
\(\Rightarrow \Delta MAD\) đồng dạng với \(\Delta MCB.\)
\(\Rightarrow{{MA} \over {MC}} = {{MD} \over {MB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
\(\Rightarrow MA. MB=MC. MD (dpcm)\)

Câu b​

b) Gọi \(MO = d\). Tính \(MA. MB\) theo \(r\) và \(d\).
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.
+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.
Lời giải chi tiết:
b) Đặt \(MO = d\), ta có \(OI\) vuông góc với \((P)\) và ta có:
\(O{M^2} = M{I^2} = O{I^2}; O{A^2} = O{I^2} + I{A^2}\)
Hạ \(IH\) vuông góc \(AB\), ta có \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Ta có \(MA = MH - HA\); \(MB = MH + HB = MH + HA\).
\(MA. MB = M{H^2} - H{A^2}\) \(= (M{H^2} + H{I^2}) - (H{A^2} + I{H^2})\) \( =M{I^2} - I{A^2} \) \(= (M{I^2} + O{I^2}) - (I{A^2} + O{I^2})\) \(= O{M^2} - O{A^2}\) \(= {d^2} - {r^2}\)
Vậy \(MA. MB = {d^2} - {r^2}\).