Google
Câu hỏi: Chứng minh các dãy số \(( \dfrac{3}{5} . 2^n)\), \((\dfrac{5}{2^{n}})\), \(((-\dfrac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân.
Phương pháp giải
Chứng minh \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) là một số không đổi.
Lời giải chi tiết
+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{3}{5}{. 2^n} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{3}{5}{. 2^1} = \dfrac{6}{5}\)
Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
\({u_{n + 1}} = \dfrac{3}{5}{. 2^{n + 1}} \)
\(\Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{5}{{. 2}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{5}{{. 2}^n}}} \) \(= \dfrac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = \dfrac{{{2^n}. 2}}{{{2^n}}} = 2\) (không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{6}{5}\) và \(q = 2\).
+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{5}{{{2^n}}} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{5}{{{2^1}}} = \dfrac{5}{2}\)
Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{5}{{{2^n}}}}} = \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{5}{{{2^n}}}\) \(= \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{5} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^{n + 1}}}} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n}. 2}} = \dfrac{1}{2} \) (không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{5}{2}\) và \(q= \dfrac{1}{2}\)
+) Ta có: \({u_n} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n}\)\(\Rightarrow {u_1} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^1} = - \dfrac{1}{2}\)
Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left({ - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}\)
\( = \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}.\left({ - \dfrac{1}{2}} \right)}}{{{{\left({ - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}= - \dfrac{1}{2} \) (không đổi)
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{-1}{2}\) và \(q= \dfrac{-1}{2}\).
Chứng minh \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) là một số không đổi.
Lời giải chi tiết
+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{3}{5}{. 2^n} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{3}{5}{. 2^1} = \dfrac{6}{5}\)
Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
\({u_{n + 1}} = \dfrac{3}{5}{. 2^{n + 1}} \)
\(\Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{5}{{. 2}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{5}{{. 2}^n}}} \) \(= \dfrac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = \dfrac{{{2^n}. 2}}{{{2^n}}} = 2\) (không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{6}{5}\) và \(q = 2\).
+) Ta có: \({u_n} = \dfrac{5}{{{2^n}}} \Rightarrow {u_1} = \dfrac{5}{{{2^1}}} = \dfrac{5}{2}\)
Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{5}{{{2^n}}}}} = \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{5}{{{2^n}}}\) \(= \dfrac{5}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{5} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^{n + 1}}}} = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n}. 2}} = \dfrac{1}{2} \) (không đổi)
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{5}{2}\) và \(q= \dfrac{1}{2}\)
+) Ta có: \({u_n} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n}\)\(\Rightarrow {u_1} = {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^1} = - \dfrac{1}{2}\)
Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left({ - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}\)
\( = \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}.\left({ - \dfrac{1}{2}} \right)}}{{{{\left({ - \dfrac{1}{2}} \right)}^n}}}= - \dfrac{1}{2} \) (không đổi)
Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \dfrac{-1}{2}\) và \(q= \dfrac{-1}{2}\).