Lý thuyết cấp số nhân

Câu hỏi: 1. Định nghĩa
\(u_n\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow u_{n+1}= u_n. Q\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)
Công bội \(q = \dfrac{{u_{n + 1}}} {{u_n}}\).
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5, q = 3\). Tính \({u_2}\).
Ta có: \({u_2} = q{u_1} = 3.5 = 15\).
2. Số hạng tổng quát
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} ,(n ≥ 2)\)
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5, q = 3\). Tính \({u_5}\).
Ta có:
\({u_5} = {u_1}{q^4} = {5.3^4} = 405\).
3. Tính chất
\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) hay \(|{u_k}| = \sqrt{{u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}}\), ​ \(k ≥ 2\)
Ví dụ:
Cho bốn số \(x; 5; 25; y\) theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm \(x, y\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{5^2} = x. 25 \Leftrightarrow x = 1\\{25^2} = 5y \Leftrightarrow y = 125\end{array}\)
Vậy \(x = 1, y = 125\).
4. Tổng n số hạng đầu
\({S_n} = \dfrac{{u_1}({q^n} - 1)} {q - 1}\) \(= \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\), \((q ≠ 1)\).
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5, q = 3\). Tính \({S_{10}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}}\\ = \dfrac{{5.\left({1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}}\\ = \dfrac{{5\left({{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\end{array}\)