Google
Câu hỏi: Giải phương trình sau
\(4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0\)
\(4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0\)
Phương pháp giải
Giải phương trình bằng cách sử dụng
- Công thức biến đổi tích thành tổng \(\sin x\cos y = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin (x - y) + \sin (x + y)} \right]\).
- Công thức biến đổi tổng thành tích \(\sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}\).
- Giải phương trình \(\cos x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là
\(x=\pm\arccos a+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 4\sin 3x+\sin 5x-\)
\(2\dfrac{1}{2}\left[ {\sin (x - 2x) + \sin (x + 2x)} \right]=0\)
\(\Leftrightarrow 4\sin 3x+\sin 5x-\)
\(\left[ {\sin (- x) + \sin 3x} \right]=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin 3x+\sin 5x+\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin 3x+\)
\(2\sin\dfrac{{5x + x}}{2}\cos \dfrac{{5x - x}}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin 3x+2\sin 3x\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin 3x(3+2\cos 2x)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} \sin 3x = 0\\\cos 2x=-\dfrac{3}{2}<-1\text{(loại)}\end{array} \right. \)
\(\sin 3x=0\Leftrightarrow 3x = k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(x=k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\).
Giải phương trình bằng cách sử dụng
- Công thức biến đổi tích thành tổng \(\sin x\cos y = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin (x - y) + \sin (x + y)} \right]\).
- Công thức biến đổi tổng thành tích \(\sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\cos \dfrac{{x - y}}{2}\).
- Giải phương trình \(\cos x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là
\(x=\pm\arccos a+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 4\sin 3x+\sin 5x-\)
\(2\dfrac{1}{2}\left[ {\sin (x - 2x) + \sin (x + 2x)} \right]=0\)
\(\Leftrightarrow 4\sin 3x+\sin 5x-\)
\(\left[ {\sin (- x) + \sin 3x} \right]=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin 3x+\sin 5x+\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin 3x+\)
\(2\sin\dfrac{{5x + x}}{2}\cos \dfrac{{5x - x}}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin 3x+2\sin 3x\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin 3x(3+2\cos 2x)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} \sin 3x = 0\\\cos 2x=-\dfrac{3}{2}<-1\text{(loại)}\end{array} \right. \)
\(\sin 3x=0\Leftrightarrow 3x = k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(x=k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\).