Google
Câu hỏi: Giải phương trình sau
\({\sin}^2 x+{\sin}^2 2x={\sin}^2 3x\)
\({\sin}^2 x+{\sin}^2 2x={\sin}^2 3x\)
Phương pháp giải
Giải phương trình bằng cách sử dụng
- Công thức hạ bậc \({\sin}^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\)
- Công thức nhân đôi \(\cos 2x=1-2{\sin}^2 x\)
- Công thức biến đổi tổng thành tích \(\cos x - \cos y = - 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\) và \(\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \({\sin}^2 x+{\sin}^2 2x={\sin}^2 3x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 2x}{2}+\dfrac{1-\cos 4x}{2}=\dfrac{1-\cos 6x}{2}\)
\(\Leftrightarrow 1-\cos 4x+\cos 6x-\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 2{\sin}^2 2x-2\sin 4x\sin 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 2\sin 2x(\sin 2x-\sin 4x)=0\)
\(\Leftrightarrow 2\sin 2x(-2)\cos 3x\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin 2x\cos 3x\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\\\sin x=0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k\pi, k\in\mathbb{Z}\\3x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\dfrac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy nghiệm của phương là \(x = k\dfrac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\).
Giải phương trình bằng cách sử dụng
- Công thức hạ bậc \({\sin}^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\)
- Công thức nhân đôi \(\cos 2x=1-2{\sin}^2 x\)
- Công thức biến đổi tổng thành tích \(\cos x - \cos y = - 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\) và \(\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \({\sin}^2 x+{\sin}^2 2x={\sin}^2 3x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 2x}{2}+\dfrac{1-\cos 4x}{2}=\dfrac{1-\cos 6x}{2}\)
\(\Leftrightarrow 1-\cos 4x+\cos 6x-\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 2{\sin}^2 2x-2\sin 4x\sin 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 2\sin 2x(\sin 2x-\sin 4x)=0\)
\(\Leftrightarrow 2\sin 2x(-2)\cos 3x\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin 2x\cos 3x\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\\\sin x=0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k\pi, k\in\mathbb{Z}\\3x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\dfrac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy nghiệm của phương là \(x = k\dfrac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\).