Google
Câu hỏi: Giải phương trình sau \(2{\cos}^2 x-3\sin 2x+{\sin}^2 x=1\).
Phương pháp giải
Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) để nhìn thấy rõ đây là phương trình đẳng cấp.
Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\): \(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\)
Bước 1: Xét \(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không?
Bước 2: Khi \(\cos x\ne0\)
- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được: \(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\)
- Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng:
\(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0\)
- Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\):
\(\tan x=\tan \alpha\)
\(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(2{\cos}^2 x-3\sin 2x+{\sin}^2 x=1\)
\(\Leftrightarrow 2{\cos}^2 x-6\sin x\cos x+{\sin}^2 x=1\)
Với \(\cos x=0\) thỏa mãn phương trình nên phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
Với \(\cos x\ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được
\(2-6\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\)
\(\Leftrightarrow 2-6\tan x+{\tan}^2 x={\tan}^2 x+1\)
\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).
Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) để nhìn thấy rõ đây là phương trình đẳng cấp.
Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với \(\sin\) và \(\cos\): \(a{\sin}^2 x+b\sin x\cos x+c{\cos}^2 x=d\)
Bước 1: Xét \(\cos x=0\) có là nghiệm của phương trình hay không?
Bước 2: Khi \(\cos x\ne0\)
- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được: \(a\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+b\dfrac{\sin x}{\cos x}+c=\dfrac{d}{{\cos}^2 x}\)
- Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\); \(\dfrac{1}{{\cos}^2 x}={\tan}^2 x+1\) đưa phương trình về dạng:
\(a{\tan}^2 x+b\tan x+c=d(1+{\tan}^2 x)\)\(\Leftrightarrow (a−d){\tan}^2 x+b\tan x+c−d=0\)
- Giải phương trình lượng giác cơ bản của \(\tan\):
\(\tan x=\tan \alpha\)
\(\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi ,\in\mathbb{Z}\) và đối chiếu với điều kiện.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(2{\cos}^2 x-3\sin 2x+{\sin}^2 x=1\)
\(\Leftrightarrow 2{\cos}^2 x-6\sin x\cos x+{\sin}^2 x=1\)
Với \(\cos x=0\) thỏa mãn phương trình nên phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
Với \(\cos x\ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được
\(2-6\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\)
\(\Leftrightarrow 2-6\tan x+{\tan}^2 x={\tan}^2 x+1\)
\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).