Google
Câu hỏi: Giải phương trình sau
\({\sin}^2 x-{\cos}^2 x=\cos 4x\).
\({\sin}^2 x-{\cos}^2 x=\cos 4x\).
Phương pháp giải
Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos}^2 x-{\sin}^2 x=\cos 2x\).
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích \(\cos a + \cos b\)
\(= 2\cos \left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left({\dfrac{{a - b}}{2}} \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \({\sin}^2x-{\cos}^2x=\cos 4x\)
\(\Leftrightarrow -\cos 2x=\cos 4x\)
\(\Leftrightarrow 2\cos 3x\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 3x = 0\\\cos x= 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\\ x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\)
Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos}^2 x-{\sin}^2 x=\cos 2x\).
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích \(\cos a + \cos b\)
\(= 2\cos \left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)\cos \left({\dfrac{{a - b}}{2}} \right)\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \({\sin}^2x-{\cos}^2x=\cos 4x\)
\(\Leftrightarrow -\cos 2x=\cos 4x\)
\(\Leftrightarrow 2\cos 3x\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 3x = 0\\\cos x= 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\\ x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}\)