Google
Câu hỏi: Xét $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $\log _{2}\left(\dfrac{x+4 y}{x+y}\right)=2 x-4 y+1$. Giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac{2{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+6{{x}^{2}}}{{{\left( x+y \right)}^{3}}}$ bằng
A. $\dfrac{25}{9}$.
B. 4.
C. $\dfrac{9}{4}$.
D. $\dfrac{16}{9}$.
A. $\dfrac{25}{9}$.
B. 4.
C. $\dfrac{9}{4}$.
D. $\dfrac{16}{9}$.
Ta có : ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4y}{x+y} \right)=2x-4y+1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4y}{2x+2y} \right)=2x-4y$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+4y \right)+2\left( x+4y \right)={{\log }_{2}}\left( 2x+2y \right)+2\left( 2x+2y \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+2t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+2>0;\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ nên ta có $x+4y=2x+2y\Leftrightarrow x=2y$. Thay vào $P$ ta được
$P=\dfrac{2{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+6{{x}^{2}}}{{{\left( x+y \right)}^{3}}}=\dfrac{24}{27}\left( y+\dfrac{1}{y} \right)\ge \dfrac{16}{9}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=2;y=1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\min P=\dfrac{16}{9}$.
Chú ý:
Với ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4y}{x+y} \right)=2x-4y+1$, cho $y=100$ solve ta được $x=200$ nên dự đoán được $x=2y$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+4y \right)+2\left( x+4y \right)={{\log }_{2}}\left( 2x+2y \right)+2\left( 2x+2y \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+2t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+2>0;\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ nên ta có $x+4y=2x+2y\Leftrightarrow x=2y$. Thay vào $P$ ta được
$P=\dfrac{2{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+6{{x}^{2}}}{{{\left( x+y \right)}^{3}}}=\dfrac{24}{27}\left( y+\dfrac{1}{y} \right)\ge \dfrac{16}{9}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=2;y=1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\min P=\dfrac{16}{9}$.
Chú ý:
Với ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4y}{x+y} \right)=2x-4y+1$, cho $y=100$ solve ta được $x=200$ nên dự đoán được $x=2y$.
Đáp án D.