Google
Câu hỏi: Xét tất cả các số thực $x,y$ cho sao cho ${{a}^{4x-{{\log }_{5}}{{a}^{2}}}}\le {{25}^{40-{{y}^{2}}}}$ với mọi số thực dương $a$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x-3y$ bằng
A. $60$.
B. $20$.
C. $\dfrac{125}{2}$.
D. $80$.
A. $60$.
B. $20$.
C. $\dfrac{125}{2}$.
D. $80$.
Ta có: ${{a}^{4x-{{\log }_{5}}{{a}^{2}}}}\le {{25}^{40-{{y}^{2}}}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{a}^{4x-{{\log }_{5}}{{a}^{2}}}}\le {{25}^{40-{{y}^{2}}}}\Leftrightarrow {{\log }_{5}}{{a}^{4x-{{\log }_{5}}{{a}^{2}}}}\le {{\log }_{5}}{{5}^{2\left( 40-{{y}^{2}} \right)}} \\
& \Leftrightarrow \left( 4x-2{{\log }_{5}}a \right){{\log }_{5}}a\le 80-2{{y}^{2}}\left( 1 \right) \\
& \\
\end{aligned}$
Đặt $t={{\log }_{5}}a$ khi đó bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $\Leftrightarrow \left( 4x-2t \right)t\le 80-2{{y}^{2}}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-4xt+80-2{{y}^{2}}\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2>0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {\Delta }'=4{{x}^{2}}-2\left( 80-2{{y}^{2}} \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 40$
Khi đó: $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x-3y\le 40+x-3y\le 40+\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{3}^{2}} \right)}=60$
$\Leftrightarrow {{P}_{\max }}=60$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{a}^{4x-{{\log }_{5}}{{a}^{2}}}}\le {{25}^{40-{{y}^{2}}}}\Leftrightarrow {{\log }_{5}}{{a}^{4x-{{\log }_{5}}{{a}^{2}}}}\le {{\log }_{5}}{{5}^{2\left( 40-{{y}^{2}} \right)}} \\
& \Leftrightarrow \left( 4x-2{{\log }_{5}}a \right){{\log }_{5}}a\le 80-2{{y}^{2}}\left( 1 \right) \\
& \\
\end{aligned}$
Đặt $t={{\log }_{5}}a$ khi đó bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $\Leftrightarrow \left( 4x-2t \right)t\le 80-2{{y}^{2}}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-4xt+80-2{{y}^{2}}\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2>0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {\Delta }'=4{{x}^{2}}-2\left( 80-2{{y}^{2}} \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 40$
Khi đó: $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x-3y\le 40+x-3y\le 40+\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{3}^{2}} \right)}=60$
$\Leftrightarrow {{P}_{\max }}=60$
Đáp án A.