Xét tất cả các số thực $x, y$ cho sao cho ${{a}^{4x-{{\log...

The Funny · 11/5/23

Câu hỏi: Xét tất cả các số thực

x, y

cho sao cho

a^{4 x - \log_{5} a^{2}} \leq 25^{40 - y^{2}}

với mọi số thực dương

a

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x^{2} + y^{2} + x - 3 y

bằng
A.

60

.
B.

20

.
C.

\frac{125}{2}

.
D.

80

.

Ta có:

a^{4 x - \log_{5} a^{2}} \leq 25^{40 - y^{2}}

\begin{aligned} \Leftrightarrow a^{4 x - \log_{5} a^{2}} \leq 25^{40 - y^{2}} \Leftrightarrow \log_{5} a^{4 x - \log_{5} a^{2}} \leq \log_{5} 5^{2 (40 - y^{2})} \\ \Leftrightarrow (4 x - 2 \log_{5} a) \log_{5} a \leq 80 - 2 y^{2} (1) \end{aligned}

Đặt

t = \log_{5} a

khi đó bất phương trình

(1)

trở thành

\Leftrightarrow (4 x - 2 t) t \leq 80 - 2 y^{2} \Leftrightarrow 2 t^{2} - 4 x t + 80 - 2 y^{2} \geq 0 \forall x \in R

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 2 > 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow Δ^{'} = 4 x^{2} - 2 (80 - 2 y^{2}) \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 40

Khi đó:

P = x^{2} + y^{2} + x - 3 y \leq 40 + x - 3 y \leq 40 + \sqrt{(x^{2} + y^{2}) (1^{2} + 3^{2})} = 60

\Leftrightarrow P_{max} = 60

Đáp án A.

Xét tất cả các số thực x,y cho sao cho ${{a}^{4x-{{\log...