Google
Câu hỏi: Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+3-2i \right|+\left| z-3+i \right|=3\sqrt{5}$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z+2 \right|+\left| z-1-3i \right|$. Khi đó
A. $M=\sqrt{17}+\sqrt{5},m=3\sqrt{2}.$
B. $M=\sqrt{26}+2\sqrt{5},m=3\sqrt{2}.$
C. $M=\sqrt{26}+2\sqrt{5},m=\sqrt{2}.$
D. $M=\sqrt{17}+\sqrt{5},m=\sqrt{2}.$
A. $M=\sqrt{17}+\sqrt{5},m=3\sqrt{2}.$
B. $M=\sqrt{26}+2\sqrt{5},m=3\sqrt{2}.$
C. $M=\sqrt{26}+2\sqrt{5},m=\sqrt{2}.$
D. $M=\sqrt{17}+\sqrt{5},m=\sqrt{2}.$
Gọi $A\left( -3;2 \right),B\left( 3;-1 \right),C\left( -2;0 \right),D\left( 1;3 \right)$
Từ giả thiết suy ra tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đoạn thẳng $AB$. Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $NC+ND$, với $N$ là một điểm bất kì trên đoạn $AB$.
Dễ thấy $CD$ cắt $AB$ nên $NC+ND$ nhỏ nhất khi $C,N,D$ thẳng hàng, $\Rightarrow m=CD=3\sqrt{2}$.
$NC+ND\le \sqrt{2}\sqrt{N{{C}^{2}}+N{{D}^{2}}}$.
Gọi $I$ là trung điểm $CD$, $N{{C}^{2}}+N{{D}^{2}}=2N{{I}^{2}}+\dfrac{C{{D}^{2}}}{2}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $CD$, do $AH<HB$ nên $NI$ lớn nhất khi $N$ trùng $B$.
Vậy $M=CB+DB=\sqrt{26}+2\sqrt{5}$.
Từ giả thiết suy ra tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đoạn thẳng $AB$. Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $NC+ND$, với $N$ là một điểm bất kì trên đoạn $AB$.
Dễ thấy $CD$ cắt $AB$ nên $NC+ND$ nhỏ nhất khi $C,N,D$ thẳng hàng, $\Rightarrow m=CD=3\sqrt{2}$.
$NC+ND\le \sqrt{2}\sqrt{N{{C}^{2}}+N{{D}^{2}}}$.
Gọi $I$ là trung điểm $CD$, $N{{C}^{2}}+N{{D}^{2}}=2N{{I}^{2}}+\dfrac{C{{D}^{2}}}{2}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $CD$, do $AH<HB$ nên $NI$ lớn nhất khi $N$ trùng $B$.
Vậy $M=CB+DB=\sqrt{26}+2\sqrt{5}$.
Đáp án B.