Google
Câu hỏi: Xét số phức $z$ thoả mãn $\left| z+2-i \right|+\left| z-4-7i \right|=6\sqrt{2}.$ Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $\left| z-1+i \right|.$ Giá trị của biểu thức $P=m+M$ là
A. $P=\sqrt{13}+\sqrt{73}.$
B. $P=\dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}.$
C. $P=5\sqrt{2}+\sqrt{73}.$
D. $P=\dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{73}}{2}.$
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$ Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ gọi $P\left( x;y \right)$ là điểm
biểu diễn của số phức $z.$ Gọi $A\left( -2;1 \right),B\left( 4;7 \right)$ thì
$AB=6\sqrt{2}=\left| z+2-i \right|+\left| z-4-7i \right|$
$=\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}}=PA+PB.$
Suy ra tập hợp các điểm P thoả mãn chính là đoạn thẳng AB.
Có $\left| z-1+i \right|=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=PC$ với $C\left( 1;-1 \right).$
Suy ra $M=PB=\sqrt{73}$ và $m=d\left( P,AB \right)=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\Rightarrow M+m=\dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}.$
A. $P=\sqrt{13}+\sqrt{73}.$
B. $P=\dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}.$
C. $P=5\sqrt{2}+\sqrt{73}.$
D. $P=\dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{73}}{2}.$
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$ Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ gọi $P\left( x;y \right)$ là điểm
biểu diễn của số phức $z.$ Gọi $A\left( -2;1 \right),B\left( 4;7 \right)$ thì
$AB=6\sqrt{2}=\left| z+2-i \right|+\left| z-4-7i \right|$
$=\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}}=PA+PB.$
Suy ra tập hợp các điểm P thoả mãn chính là đoạn thẳng AB.
Có $\left| z-1+i \right|=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=PC$ với $C\left( 1;-1 \right).$
Suy ra $M=PB=\sqrt{73}$ và $m=d\left( P,AB \right)=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\Rightarrow M+m=\dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}.$
Đáp án B.