Google
Câu hỏi: Xét số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| iz-2i-2 \right|-\left| z+1-3i \right|=\sqrt{34}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| \left( 1+i \right)z+2i \right|$.
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{9}{\sqrt{17}}$.
B. ${{P}_{\min }}=3\sqrt{2}$.
C. ${{P}_{\min }}=4\sqrt{2}$.
D. ${{P}_{\min }}=\sqrt{26}$.
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{9}{\sqrt{17}}$.
B. ${{P}_{\min }}=3\sqrt{2}$.
C. ${{P}_{\min }}=4\sqrt{2}$.
D. ${{P}_{\min }}=\sqrt{26}$.
Ta có $P=\left| \left( 1+i \right)z+2i \right|\Leftrightarrow \dfrac{P}{\sqrt{2}}=\dfrac{\left| \left( 1+i \right)z+2i \right|}{\left| 1+i \right|}=\left| z+1+i \right|$
Gọi $z=x+yi$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ và M là điểm biểu diễn của số phức z
Gọi $A\left( 2;-2 \right),B\left( -1;3 \right)$ suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( -3;5 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{34}$.
Từ giả thiết, ta có $\left| z-2+2i \right|-\left| z+1-3i \right|=\sqrt{34}\Leftrightarrow MA-MB=AB\Leftrightarrow MA=MB+AB$, suy ra điểm M thuộc tia AB và M nằm ngoài đoạn thẳng AB (có thể trùng với điểm B)
Phương trình đường thẳng AB có ${{\overrightarrow{n}}_{AB}}=\left( 5;3 \right)$ và đi qua A là $5x+3y-4=0$.
Cách 1 [PP ĐẠI SỐ]. Từ đó suy ra $M\left( x;\dfrac{4-5x}{3} \right)$ với $x\le -1$.
Khi đó $\dfrac{P}{\sqrt{2}}=\left| z+1+i \right|=\left| x+1+\left( y+1 \right)i \right|=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4-5x}{3}+1 \right)}^{2}}}$
Khảo sát hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4-5x}{3}+1 \right)}^{2}}}$ trên $\left( -\infty ;-1 \right]$, ta được $\underset{\left( -\infty ;-1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)=4$.
Cách 2 [PP HÌNH HỌC]. Hình vẽ minh họa:
Gọi $N\left( -1;-1 \right)$ suy ra $MN=\left| z+1+i \right|$.
Vì điểm M thuộc tia AB nên suy ra MN nhỏ nhất $\Leftrightarrow M\equiv B\xrightarrow{{}}{{\left| z+1+i \right|}_{\min }}=4$.
Gọi $z=x+yi$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ và M là điểm biểu diễn của số phức z
Gọi $A\left( 2;-2 \right),B\left( -1;3 \right)$ suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( -3;5 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{34}$.
Từ giả thiết, ta có $\left| z-2+2i \right|-\left| z+1-3i \right|=\sqrt{34}\Leftrightarrow MA-MB=AB\Leftrightarrow MA=MB+AB$, suy ra điểm M thuộc tia AB và M nằm ngoài đoạn thẳng AB (có thể trùng với điểm B)
Phương trình đường thẳng AB có ${{\overrightarrow{n}}_{AB}}=\left( 5;3 \right)$ và đi qua A là $5x+3y-4=0$.
Cách 1 [PP ĐẠI SỐ]. Từ đó suy ra $M\left( x;\dfrac{4-5x}{3} \right)$ với $x\le -1$.
Khi đó $\dfrac{P}{\sqrt{2}}=\left| z+1+i \right|=\left| x+1+\left( y+1 \right)i \right|=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4-5x}{3}+1 \right)}^{2}}}$
Khảo sát hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{4-5x}{3}+1 \right)}^{2}}}$ trên $\left( -\infty ;-1 \right]$, ta được $\underset{\left( -\infty ;-1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( -1 \right)=4$.
Cách 2 [PP HÌNH HỌC]. Hình vẽ minh họa:
Vì điểm M thuộc tia AB nên suy ra MN nhỏ nhất $\Leftrightarrow M\equiv B\xrightarrow{{}}{{\left| z+1+i \right|}_{\min }}=4$.
Đáp án C.