Google
Câu hỏi: Xét số phức z thỏa mãn $\dfrac{2019z}{z-2}$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn $\left( C \right)$ trừ đi một điểm $N\left( 2;0 \right)$. Bán kính của $\left( C \right)$ bằng
A. $\sqrt{3}$.
B. 1.
C. $\sqrt{2}$.
D. 2.
A. $\sqrt{3}$.
B. 1.
C. $\sqrt{2}$.
D. 2.
Gọi số phức thỏa mãn bài toán $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right);x+yi\ne 2$.
Ta có $\dfrac{2019z}{z-2}=\dfrac{2019\left( x+yi \right)}{x-2+yi}=\dfrac{2019\left( x+yi \right)\left( x-2-yi \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{2019\left( x\left( x-2 \right)+{{y}^{2}}-2yi \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$.
Vì $\dfrac{2019z}{z-2}$ là số thuần ảo nên: $x\left( x-2 \right)+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính là 1 trừ điểm $N\left( 2;0 \right)$.
Bước 2: Khi đó nhận dạng phương trình biểu diễn x, y. Có thể là đường tròn, đường thẳng, Parabol,…
Ta có $\dfrac{2019z}{z-2}=\dfrac{2019\left( x+yi \right)}{x-2+yi}=\dfrac{2019\left( x+yi \right)\left( x-2-yi \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{2019\left( x\left( x-2 \right)+{{y}^{2}}-2yi \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$.
Vì $\dfrac{2019z}{z-2}$ là số thuần ảo nên: $x\left( x-2 \right)+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính là 1 trừ điểm $N\left( 2;0 \right)$.
Note 50: Phương pháp chung
Bước 1: Gọi $z=x+yi$ là dạng đại số của số phức z và thay vào đẳng thức đề cho. Thực hiện các phép biến đổi để đưa ra phương trình biểu diễn liên hệ giữa x, y.Bước 2: Khi đó nhận dạng phương trình biểu diễn x, y. Có thể là đường tròn, đường thẳng, Parabol,…
Đáp án B.