Xét khối tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB=x$, các cạnh còn lại đều bằng...

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $CD$ và $AB$ ; $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BM$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot BM \\
& CD\bot AM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( ABM \right)\Rightarrow \left( ABM \right)\bot \left( BCD \right).$
Mà $AH\bot BM;BM=\left( ABM \right)\cap \left( BCD \right)\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)$.
Do $ACD$ và $BCD$ là hai tam giác đều cạnh $2\sqrt{3}\Rightarrow AM=BM=2\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3.$
Tam giác $AMN$ vuông tại $N$, có: $MN=\sqrt{A{{M}^{2}}-A{{N}^{2}}}=\sqrt{9-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{36-{{x}^{2}}}}{2}.$
Ta có ${{S}_{ABM}}=\dfrac{1}{2}MN.AB=\dfrac{1}{2}AH.BM\Rightarrow AH=\dfrac{MN.AB}{BM}=\dfrac{x\sqrt{36-{{x}^{2}}}}{6}.$
Mặt khác ta lại có: ${{S}_{BCD}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}=3\sqrt{3}.$
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{x\sqrt{36-{{x}^{2}}}}{6}.3\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}x\sqrt{36-{{x}^{2}}}.$
Có: ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}x\sqrt{36-{{x}^{2}}}\le \dfrac{\sqrt{3}}{6}.\dfrac{{{x}^{2}}+36-{{x}^{2}}}{2}=3\sqrt{3}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=\sqrt{36-{{x}^{2}}}\Rightarrow x=3\sqrt{2}.$ Vậy $Ma{{x}_{{{V}_{ABCD}}}}=3\sqrt{3}$ khi $x=3\sqrt{2}.$