Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông...

Đặt $AB=AC=x,\left( x>0 \right).$
Ta có: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{2}x$
Gọi I là trung điểm của BC, hạ $AH\bot SI$ tại H. Ta có góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right)$ là $\widehat{SIA}=\alpha $ góc nhọn.
Ta có$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AI \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AH\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$
Từ đó $AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A\left( SBC \right) \right)=AH=3.$
Xét tam giác AHI vuông tại H ta có
$\sin \alpha =\dfrac{AH}{AI}\Rightarrow AI=\dfrac{AH}{\sin \alpha }=\dfrac{3}{\sin \alpha }=\dfrac{BC}{2}.$
Xét tam giác SAI vuông tại A ta có
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{9}-\dfrac{{{\sin }^{2}}\alpha }{9}=\dfrac{{{\cos }^{2}}\alpha }{9}$
$\Rightarrow SA=\dfrac{3}{\cos \alpha }.$ Vậy ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}\dfrac{3}{\cos \alpha }.\dfrac{1}{2}\dfrac{18}{{{\sin }^{2}}\alpha }=\dfrac{9}{\cos \alpha \left( 1-{{\cos }^{2}}\alpha \right)}.$
Đặt $\cos \alpha =t,t\in \left( 0;1 \right)$ ta có $f\left( t \right)=\dfrac{1}{t\left( 1-{{t}^{2}} \right)}$, sử dụng table tìm được thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất khi $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$