Google
Câu hỏi: Xét hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn $4x.f({{x}^{2}})+3f(1-x)=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$. Tính $I=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$
A. $I=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{5}$
B. $I=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{10}$
C. $I=\dfrac{\sqrt{2}-1}{5}$
D. $I=\dfrac{\sqrt{2}-1}{10}$
A. $I=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{5}$
B. $I=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{10}$
C. $I=\dfrac{\sqrt{2}-1}{5}$
D. $I=\dfrac{\sqrt{2}-1}{10}$
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{4x.f({{x}^{2}})dx+}\int\limits_{0}^{1}{3f(1-x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}$
$\int\limits_{0}^{1}{4x.f({{x}^{2}})dx}=2\int\limits_{0}^{1}{f({{x}^{2}})}d({{x}^{2}})=2\int\limits_{0}^{1}{f(u)du}=2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$
$\int\limits_{0}^{1}{3f(1-x)dx}=3\int\limits_{1}^{0}{f(v)d(1-v)}=3\int\limits_{0}^{1}{f(v)d(v)=3\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}}$
Do đó $5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}d({{x}^{2}}+1)=\left. \dfrac{1}{2}.2\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right|}_{0}^{1}=\sqrt{2}-1$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{5}$
$\int\limits_{0}^{1}{4x.f({{x}^{2}})dx}=2\int\limits_{0}^{1}{f({{x}^{2}})}d({{x}^{2}})=2\int\limits_{0}^{1}{f(u)du}=2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$
$\int\limits_{0}^{1}{3f(1-x)dx}=3\int\limits_{1}^{0}{f(v)d(1-v)}=3\int\limits_{0}^{1}{f(v)d(v)=3\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}}$
Do đó $5\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}d({{x}^{2}}+1)=\left. \dfrac{1}{2}.2\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right|}_{0}^{1}=\sqrt{2}-1$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{5}$
Đáp án C.