Google
Câu hỏi: Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{9}^{t}}}{{{9}^{t}}+{{m}^{2}}}$ với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $f\left( x \right)+f\left( y \right)=1$ với mọi số thực x, y thỏa mãn ${{e}^{x+y}}\le e\left( x+y \right)$. Số phần tử của A là
A. Vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
A. Vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Ta có $f\left( x \right)+f\left( y \right)=1\Leftrightarrow {{9}^{x+y}}={{m}^{4}}\Rightarrow x+y={{\log }_{9}}{{m}^{4}}={{\log }_{3}}{{m}^{2}}$
Đặt $x+y=t,t>0$. Vì ${{e}^{x+y}}\le e\left( x+y \right)\Rightarrow {{e}^{t}}\le et\Leftrightarrow t\le 1+\ln t\Leftrightarrow 1+\ln t-t\ge 0,\forall t>0 \left( 1 \right).$
Xét hàm $f\left( t \right)=\ln t+1-t$ với $t>0$. Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{1-t}{t}=0\Rightarrow t=1.$
Vẽ bảng biến thiên thấy rằng $f\left( t \right)\le f\left( 1 \right),\forall t>0\Leftrightarrow 1+\ln t-t\le 0,\forall t>0 \left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có $t=1\Rightarrow {{\log }_{3}}{{m}^{2}}=1\Rightarrow {{m}^{2}}=3\Rightarrow m=\pm \sqrt{3}.$
Đặt $x+y=t,t>0$. Vì ${{e}^{x+y}}\le e\left( x+y \right)\Rightarrow {{e}^{t}}\le et\Leftrightarrow t\le 1+\ln t\Leftrightarrow 1+\ln t-t\ge 0,\forall t>0 \left( 1 \right).$
Xét hàm $f\left( t \right)=\ln t+1-t$ với $t>0$. Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}-1=\dfrac{1-t}{t}=0\Rightarrow t=1.$
Vẽ bảng biến thiên thấy rằng $f\left( t \right)\le f\left( 1 \right),\forall t>0\Leftrightarrow 1+\ln t-t\le 0,\forall t>0 \left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có $t=1\Rightarrow {{\log }_{3}}{{m}^{2}}=1\Rightarrow {{m}^{2}}=3\Rightarrow m=\pm \sqrt{3}.$
Đáp án C.