Google
Câu hỏi: Xét hai số phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=1,\left|z_2\right|=\sqrt{2},\left|z_1-z_2\right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left|2 z_1+z_2-(5+5 i)\right|$ bằng
A. $5 \sqrt{2}+\sqrt{10}$.
B. $5 \sqrt{2}-\sqrt{10}$.
C. $2 \sqrt{10}-5 \sqrt{2}$.
D. $2 \sqrt{10}+5 \sqrt{2}$.
Gọi $M, N, P, Q, H$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z_1 ; z_2 ; 2 z_1 ; 2 z_1+z_2 ; 5+5 i$. $\Rightarrow\left|z_1\right|=O M=1,\left|z_2\right|=O N=\sqrt{2}$ và $\left|z_1-z_2\right|=M N=1$.
Xét $\triangle O M N$ có: $\cos \widehat{M O N}=\dfrac{O M^2+O N^2-M N^2}{2 O M . O N}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{M O N}=45^{\circ}$.
Vì tứ giác $O P Q N$ là hình bình hành nên $\widehat{O P Q}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$ và $P Q=\sqrt{2}$ nên: $O Q^2=Q P^2+O P^2-2 O P \cdot P Q \cos 135^{\circ}=10 \Rightarrow O Q=\sqrt{10}$ nên $Q$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính $R=\sqrt{10}$.
Mà: $\left|2 z_1+z_2-(5+5 i)\right|=H Q$ với $H(5 ; 5)$.
$\left|2 z_1+z_2-(5+5 i)\right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow H Q$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow H Q=O H-O Q=5 \sqrt{2}-\sqrt{10}$.
A. $5 \sqrt{2}+\sqrt{10}$.
B. $5 \sqrt{2}-\sqrt{10}$.
C. $2 \sqrt{10}-5 \sqrt{2}$.
D. $2 \sqrt{10}+5 \sqrt{2}$.
Xét $\triangle O M N$ có: $\cos \widehat{M O N}=\dfrac{O M^2+O N^2-M N^2}{2 O M . O N}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{M O N}=45^{\circ}$.
Vì tứ giác $O P Q N$ là hình bình hành nên $\widehat{O P Q}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$ và $P Q=\sqrt{2}$ nên: $O Q^2=Q P^2+O P^2-2 O P \cdot P Q \cos 135^{\circ}=10 \Rightarrow O Q=\sqrt{10}$ nên $Q$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính $R=\sqrt{10}$.
Mà: $\left|2 z_1+z_2-(5+5 i)\right|=H Q$ với $H(5 ; 5)$.
$\left|2 z_1+z_2-(5+5 i)\right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow H Q$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow H Q=O H-O Q=5 \sqrt{2}-\sqrt{10}$.
Đáp án B.