Google
Câu hỏi: Xét các số thực ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{1}}-2i \right|=1,\left| {{z}_{2}}-2 \right|=\left| {{z}_{2}}-i \right|$ và $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1-2i}$ là một số thuần ảo. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$. Khi đó tích M.m có giá trị thuộc khoảng nào sau đây
A. $\left( 0;2 \right).$
B. $\left( 2;4 \right).$
C. $\left( 4;5 \right).$
D. $\left( 5;6 \right).$
Gọi A là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và B là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$.
Từ giả thiết suy ra, điểm A là tập hợp đường tròn tâm $I\left( 0;2 \right)$ bán kính bằng 1; điểm B là đường $\Delta :4x-2y-3=0$.
Mặt khác $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1-2i}$ là một số thuần ảo nên $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1-2i}=bi$ hay ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2b+bi$. Nhận xét rằng $b\ne 0$.
Do đó $\overrightarrow{BA}=\left( 2b;b \right)$ với $b\in \mathbb{R}$. Hay đường thẳng AB nhận vecto $\overrightarrow{u}=\left( 2;1 \right)$ làm vecto chỉ phương.
Suy ra góc $\overset\frown{HBA}=\alpha $ không đổi.
Suy ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB=\dfrac{d\left( A,\Delta \right)}{\sin \alpha }$.
Vậy AB lớn nhất (nhỏ nhất) khi và chỉ khi $d\left( A,\Delta \right)$ lớn nhất (nhỏ nhất).
Suy ra $M={{A}_{1}}{{B}_{1}}, m={{A}_{2}}{{B}_{2}}$. Với ${{A}_{1}}, {{A}_{2}}$ là các giao điểm của đường tròn $\left( I \right)$ với đường thẳng qua tâm I đồng thời vuông góc với Δ.
$M=\dfrac{{{A}_{1}}H}{\sin \alpha }=\dfrac{d\left( I,\Delta \right)+1}{\sin \alpha }; m=\dfrac{{{A}_{2}}H}{\sin \alpha }=\dfrac{d\left( I,\Delta \right)-1}{\sin \alpha }$
Trong đó: $d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{7}{2\sqrt{5}}; \sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\dfrac{3}{5}$.
Vì $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right) \right|=\dfrac{\left| 1.2+\left( 2 \right).1 \right|}{5}=\dfrac{4}{5}$. Suy ra $M.m=\dfrac{\dfrac{7}{2\sqrt{5}}+1}{\dfrac{3}{5}}.\dfrac{\dfrac{7}{2\sqrt{5}}-1}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{145}{36}\in \left( 4;5 \right)$.
A. $\left( 0;2 \right).$
B. $\left( 2;4 \right).$
C. $\left( 4;5 \right).$
D. $\left( 5;6 \right).$
Từ giả thiết suy ra, điểm A là tập hợp đường tròn tâm $I\left( 0;2 \right)$ bán kính bằng 1; điểm B là đường $\Delta :4x-2y-3=0$.
Mặt khác $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1-2i}$ là một số thuần ảo nên $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1-2i}=bi$ hay ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2b+bi$. Nhận xét rằng $b\ne 0$.
Do đó $\overrightarrow{BA}=\left( 2b;b \right)$ với $b\in \mathbb{R}$. Hay đường thẳng AB nhận vecto $\overrightarrow{u}=\left( 2;1 \right)$ làm vecto chỉ phương.
Suy ra góc $\overset\frown{HBA}=\alpha $ không đổi.
Suy ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB=\dfrac{d\left( A,\Delta \right)}{\sin \alpha }$.
Vậy AB lớn nhất (nhỏ nhất) khi và chỉ khi $d\left( A,\Delta \right)$ lớn nhất (nhỏ nhất).
Suy ra $M={{A}_{1}}{{B}_{1}}, m={{A}_{2}}{{B}_{2}}$. Với ${{A}_{1}}, {{A}_{2}}$ là các giao điểm của đường tròn $\left( I \right)$ với đường thẳng qua tâm I đồng thời vuông góc với Δ.
$M=\dfrac{{{A}_{1}}H}{\sin \alpha }=\dfrac{d\left( I,\Delta \right)+1}{\sin \alpha }; m=\dfrac{{{A}_{2}}H}{\sin \alpha }=\dfrac{d\left( I,\Delta \right)-1}{\sin \alpha }$
Trong đó: $d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{7}{2\sqrt{5}}; \sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\dfrac{3}{5}$.
Vì $\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right) \right|=\dfrac{\left| 1.2+\left( 2 \right).1 \right|}{5}=\dfrac{4}{5}$. Suy ra $M.m=\dfrac{\dfrac{7}{2\sqrt{5}}+1}{\dfrac{3}{5}}.\dfrac{\dfrac{7}{2\sqrt{5}}-1}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{145}{36}\in \left( 4;5 \right)$.
Đáp án C.