Xét các số thực x, y thỏa mãn $x>1,y>1$ và $\dfrac{1}{{{\log...

Ta có $\dfrac{1}{{{\log }_{x}}3}+{{\log }_{xy}}81=4-{{\log }_{3}}y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+\dfrac{1}{{{\log }_{81}}xy}=4-{{\log }_{3}}y$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}y+\dfrac{4}{{{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}y}-4=0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}y \right)}^{2}}-4\left( {{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}y \right)+4=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}y=2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}xy=2\Leftrightarrow xy=9\Leftrightarrow y=\dfrac{9}{x}.$
Khi đó $P={{x}^{2}}+\dfrac{54}{x}.$ Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+\dfrac{54}{x},x>1.$
Ta có $f'\left( x \right)=2x-\dfrac{54}{{{x}^{2}}}=\dfrac{2\left( {{x}^{3}}-27 \right)}{{{x}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3\left( y=27 \right).$
Bảng biến thiên
Vậy ${{P}_{\min }}=27.$
Cách khác: Ta có $P={{x}^{2}}+\dfrac{54}{x}={{x}^{2}}+\dfrac{27}{x}+\dfrac{27}{x}\ge 3.\sqrt[3]{27.27}=27.$
Vậy ${{P}_{\min }}=27,$ đạt được khi ${{x}^{2}}=\dfrac{27}{x}\Leftrightarrow x=3$