Google
Câu hỏi: Xét các số thức $a,b,x,y$ thỏa mãn $a>1,b>1$ và ${{a}^{x}}={{b}^{y}}=\sqrt[3]{ab}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=x+3y$ thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. $\left( 0;1 \right)$.
B. $\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$ $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
C. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
D. $\left( \dfrac{5}{2};3 \right)$.
A. $\left( 0;1 \right)$.
B. $\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$ $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
C. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$.
D. $\left( \dfrac{5}{2};3 \right)$.
$\begin{aligned}
& {{a}^{x}}={{b}^{y}}=\sqrt[3]{ab}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{\log }_{a}}\sqrt[3]{ab}=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right) \\
& y={{\log }_{b}}\sqrt[3]{ab}=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{b}}a \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow Q=x+3y=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)+1+{{\log }_{b}}a=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a\ge \dfrac{4}{3}+2\sqrt{\dfrac{1}{3}}\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right) \\
\end{aligned}$
& {{a}^{x}}={{b}^{y}}=\sqrt[3]{ab}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x={{\log }_{a}}\sqrt[3]{ab}=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right) \\
& y={{\log }_{b}}\sqrt[3]{ab}=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{b}}a \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow Q=x+3y=\dfrac{1}{3}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)+1+{{\log }_{b}}a=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}{{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a\ge \dfrac{4}{3}+2\sqrt{\dfrac{1}{3}}\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right) \\
\end{aligned}$
Đáp án B.