Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$, $w$ thỏa mãn $\left| z \right|=2$, $\left| iw-2+5i \right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|$ bằng
A. $4$.
B. $2\left( \sqrt{29}-3 \right)$.
C. $8$.
D. $2\left( \sqrt{29}-5 \right)$.
Cách 1:
Ta có: $\left| iw-2+5i \right|=1\Leftrightarrow \left| i \right|\cdot \left| w+\dfrac{-2+5i}{i} \right|=1\Leftrightarrow \left| w+5+2i \right|=1$.
Ta có: $T=\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-{{\left| z \right|}^{2}} \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-z\cdot \bar{z} \right|=\left| z \right|\cdot \left| z-\bar{z}-w \right|=2\left| z-\bar{z}-w \right|$ $\left( * \right)$
Đặt $z=a+bi$. Suy ra: $z-\bar{z}=2bi$. Vì $\left| z \right|=2$ nên $-4\le 2b\le 4$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là điểm biểu diễn của $w$ và $2bi$. Suy ra:
+ $A$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -5;-2 \right)$, bán kính $R=1$.
+ $B$ thuộc trục $Oy$ và $-4\le {{x}_{B}}\le 4$.
Từ $\left( * \right)$ suy ra: $T=2AB\ge 2MN=2\cdot 4=8$ (xem hình)
Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $A\equiv M\left( -4;-2 \right)\Rightarrow w=-4-2i$ và
$B\equiv N\left( 0;-2 \right)\Rightarrow 2bi=-2i\Rightarrow b=-1$ $\Rightarrow z=a-i$ $\Rightarrow {{a}^{2}}+1=4\Rightarrow a=\pm \sqrt{3}$ $\Rightarrow z=\pm \sqrt{3}-i$.
Vậy $\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|$ có giá trị nhỏ nhất bằng $8$.
Cách 2:
Đặt $z=a+bi$, $w=c+di$ ( $a$, $b$, $c$, $d\in \mathbb{R}$ ). Từ giả thiết, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\
& {{\left( c+5 \right)}^{2}}+{{\left( d+2 \right)}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a,b\in \left[ -2;2 \right] \\
& c\in \left[ -6;-4 \right], d\in \left[ -3;-1 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có:
$T=\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-{{\left| z \right|}^{2}} \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-z\cdot \bar{z} \right|=\left| z \right|\cdot \left| z-\bar{z}-w \right|=2\left| z-\bar{z}-w \right|$
$\Rightarrow T=2\left| 2bi-\left( c+di \right) \right|=2\sqrt{{{\left( 2b-d \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\ge 2\sqrt{{{c}^{2}}}=2\left| c \right|\ge 2\cdot 4=8$ (do $c\in \left[ -6;-4 \right]$ ).
Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& c=-4 \\
& 2b-d=0 \\
& {{\left( c+5 \right)}^{2}}+{{\left( d+2 \right)}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra một nghiệm thỏa mãn là $\left\{ \begin{aligned}
& c=-4 \\
& d=-2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|$ có giá trị nhỏ nhất bằng $8$.
Chú ý: Về một SAI.
Sau khi có
$T=\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|=2\left| z-\bar{z}-w \right|\ge 2\left| \left| z-w \right|-\left| {\bar{z}} \right| \right|=2\left| EF-2 \right|\ge 2\left| OI-1-2-2 \right|=2\left( \sqrt{29}-5 \right)$.
Khi đó, đẳng thức không xảy ra, vì hệ $\left\{ \begin{aligned}
& z-w=k\bar{z}, k\ge 0 \\
& \left| z-w \right|=\sqrt{29}-3 \\
\end{aligned} \right.$ vô nghiệm.
Hoặc:
$T=\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|=\left| z\left( z-w \right)-4 \right|\ge \left| \left| z\left( z-w \right) \right|-4 \right|=\left| 2\left| z-w \right|-4 \right|\ge \left| 2\left( \sqrt{29}-3 \right)-4 \right|=2\left( \sqrt{29}-5 \right)$, cũng không có đẳng thức xảy rA. (Bạn đọc tự kiểm tra điều này).
A. $4$.
B. $2\left( \sqrt{29}-3 \right)$.
C. $8$.
D. $2\left( \sqrt{29}-5 \right)$.
Cách 1:
Ta có: $T=\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-{{\left| z \right|}^{2}} \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-z\cdot \bar{z} \right|=\left| z \right|\cdot \left| z-\bar{z}-w \right|=2\left| z-\bar{z}-w \right|$ $\left( * \right)$
Đặt $z=a+bi$. Suy ra: $z-\bar{z}=2bi$. Vì $\left| z \right|=2$ nên $-4\le 2b\le 4$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là điểm biểu diễn của $w$ và $2bi$. Suy ra:
+ $A$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( -5;-2 \right)$, bán kính $R=1$.
+ $B$ thuộc trục $Oy$ và $-4\le {{x}_{B}}\le 4$.
Từ $\left( * \right)$ suy ra: $T=2AB\ge 2MN=2\cdot 4=8$ (xem hình)
Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $A\equiv M\left( -4;-2 \right)\Rightarrow w=-4-2i$ và
$B\equiv N\left( 0;-2 \right)\Rightarrow 2bi=-2i\Rightarrow b=-1$ $\Rightarrow z=a-i$ $\Rightarrow {{a}^{2}}+1=4\Rightarrow a=\pm \sqrt{3}$ $\Rightarrow z=\pm \sqrt{3}-i$.
Vậy $\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|$ có giá trị nhỏ nhất bằng $8$.
Cách 2:
Đặt $z=a+bi$, $w=c+di$ ( $a$, $b$, $c$, $d\in \mathbb{R}$ ). Từ giả thiết, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\
& {{\left( c+5 \right)}^{2}}+{{\left( d+2 \right)}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a,b\in \left[ -2;2 \right] \\
& c\in \left[ -6;-4 \right], d\in \left[ -3;-1 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có:
$T=\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-{{\left| z \right|}^{2}} \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-z\cdot \bar{z} \right|=\left| z \right|\cdot \left| z-\bar{z}-w \right|=2\left| z-\bar{z}-w \right|$
$\Rightarrow T=2\left| 2bi-\left( c+di \right) \right|=2\sqrt{{{\left( 2b-d \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\ge 2\sqrt{{{c}^{2}}}=2\left| c \right|\ge 2\cdot 4=8$ (do $c\in \left[ -6;-4 \right]$ ).
Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& c=-4 \\
& 2b-d=0 \\
& {{\left( c+5 \right)}^{2}}+{{\left( d+2 \right)}^{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra một nghiệm thỏa mãn là $\left\{ \begin{aligned}
& c=-4 \\
& d=-2 \\
& b=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|$ có giá trị nhỏ nhất bằng $8$.
Chú ý: Về một SAI.
Sau khi có
$T=\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|=2\left| z-\bar{z}-w \right|\ge 2\left| \left| z-w \right|-\left| {\bar{z}} \right| \right|=2\left| EF-2 \right|\ge 2\left| OI-1-2-2 \right|=2\left( \sqrt{29}-5 \right)$.
Khi đó, đẳng thức không xảy ra, vì hệ $\left\{ \begin{aligned}
& z-w=k\bar{z}, k\ge 0 \\
& \left| z-w \right|=\sqrt{29}-3 \\
\end{aligned} \right.$ vô nghiệm.
Hoặc:
$T=\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|=\left| z\left( z-w \right)-4 \right|\ge \left| \left| z\left( z-w \right) \right|-4 \right|=\left| 2\left| z-w \right|-4 \right|\ge \left| 2\left( \sqrt{29}-3 \right)-4 \right|=2\left( \sqrt{29}-5 \right)$, cũng không có đẳng thức xảy rA. (Bạn đọc tự kiểm tra điều này).
Đáp án C.