Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left| z+2-2i \right|=\left| z-4i...

Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$ Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z.
Ta có: $\left| z+2-2i \right|=\left| z-4i \right|\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x+y-2=0.$
Lại có $w=iz+1=i\left( x+yi \right)+1=1-y+xi.$
Cách 1:
Ta có $x+y-2=0\Leftrightarrow \left( 1-y \right)-x+1=0.$ Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường thẳng $\Delta :x-y+1=0.$
Do đó giá trị nhỏ nhất của $\left| w \right|$ chính là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng tức là bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Cách 2:
Ta có $x+y-2=0\Leftrightarrow x-1=1-y.$
$\left| w \right|=\sqrt{{{\left( 1-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}=\sqrt{2{{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}}\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Dấu bằng xảy ra khi $x=\dfrac{1}{2}.$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| w \right|$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$