Xét các số phức z thỏa mãn $\left| z \right|=2\sqrt{2}.$ Biết rằng...

+ Ta có $w=\dfrac{z+1-i}{iz+3}\Leftrightarrow izw+3w=z+1-i\Leftrightarrow z=\dfrac{1-i-3w}{iw-1},$ (do $w=\dfrac{1}{i}=-i$ không thỏa mãn).
+ $\left| z \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| \dfrac{1-i-3w}{iw-1} \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| 1-i-3w \right|=2\sqrt{2}\left| iw-1 \right|$
$\Leftrightarrow \left| 1-i-3w \right|=2\sqrt{2}\left| i \right|.\left| w+i \right|\Leftrightarrow \left| 1-i-3w \right|=2\sqrt{2}\left| w+i \right|$ (1)
+ Đặt $w=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right),$
khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( 1-3a \right)}^{2}}+{{\left( 1+3b \right)}^{2}}=8\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6a-10b-6=0\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-5 \right)}^{2}}=40.$
Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức $w=\dfrac{z+1-i}{iz+3}$ là một đường tròn có bán kính bằng $2\sqrt{10}.$
Bước 1: Từ đẳng thức $w=f\left( z \right)$ ta biến đổi đưa biểu thức về dạng $z=g\left( w \right).$
Bước 2: Lấy môđun hai vế và sử dụng giả thiết $\left| z \right|=a$ dễ dàng suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w.