Google
Câu hỏi: Xét các số phức z thỏa mãn $\left| z \right|=1$. Đặt $\text{w}=\dfrac{2\text{z}-i}{2+iz}$, giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| \text{w}+3i \right|$ là
A. ${{P}_{\max }}=2$
B. ${{P}_{\max }}=3$
C. ${{P}_{\max }}=4$
D. ${{P}_{\max }}=5$
A. ${{P}_{\max }}=2$
B. ${{P}_{\max }}=3$
C. ${{P}_{\max }}=4$
D. ${{P}_{\max }}=5$
Ta có: $\text{w}=\dfrac{2\text{z}-i}{2+iz}\Leftrightarrow \text{w}(2+iz)=2\text{z}-i\Leftrightarrow 2w+\text{w}iz=2z-i$
$\text{w}=\dfrac{2\text{z}-i}{2+iz}$
Đặt $\text{w}=x+yi\Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{2}}+{{(2y+1)}^{2}}=\left[ {{(y+2)}^{2}}+{{x}^{2}} \right]\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}+3{{y}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
Vậy w thuộc đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=1\Rightarrow {{P}_{\max }}=3+1=4$.
$\text{w}=\dfrac{2\text{z}-i}{2+iz}$
Đặt $\text{w}=x+yi\Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{2}}+{{(2y+1)}^{2}}=\left[ {{(y+2)}^{2}}+{{x}^{2}} \right]\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}+3{{y}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$.
Vậy w thuộc đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=1\Rightarrow {{P}_{\max }}=3+1=4$.
Đáp án C.