Google
Câu hỏi: Xét các số phức z thỏa mãn $\left| z+5-i \right|=\left| 2+3i \right|$.
Đặt $P={{\left| z+3-9i \right|}^{2}}+{{\left| z-1-5i \right|}^{2}}$. Biết P đạt giá trị nhỏ nhất tại ${{z}_{1}}$ và P đạt giá trị lớn nhất tại ${{z}_{2}}$. Giá trị của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $2\sqrt{13}$.
B. $2\sqrt{15}$.
C. $4\sqrt{3}$.
D. 52.
HD: Từ $\left| z+5-i \right|=\left| 2+3i \right|\Leftrightarrow \left| z+5-i \right|=\sqrt{13}\xrightarrow[{}]{{}}$ tập hợp M biểu diễn số phức z thuộc trên đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $C\left( -5;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{13}$.
Ta có $P={{\left| z+3-9i \right|}^{2}}+{{\left| z-1-5i \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ với $A\left( -3;9 \right)$, $B\left( 1;5 \right)$.
Trong mặt phẳng Oxy chọn điểm I thỏa
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\xrightarrow{{}}I\left( -1;7 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& IA=2\sqrt{2} \\
& IB=2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=2M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}=16+2M{{I}^{2}}$.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow M\equiv {{M}_{1}}\left( -3;4 \right) \\
& {{P}_{\max }}\Leftrightarrow M{{I}_{\max }}\Leftrightarrow M\equiv {{M}_{2}}\left( -7;-2 \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[{}]{{}}\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=-3+4i \\
& {{z}_{2}}=-7-2i \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[{}]{{}}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{13}$.
Đặt $P={{\left| z+3-9i \right|}^{2}}+{{\left| z-1-5i \right|}^{2}}$. Biết P đạt giá trị nhỏ nhất tại ${{z}_{1}}$ và P đạt giá trị lớn nhất tại ${{z}_{2}}$. Giá trị của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $2\sqrt{13}$.
B. $2\sqrt{15}$.
C. $4\sqrt{3}$.
D. 52.
HD: Từ $\left| z+5-i \right|=\left| 2+3i \right|\Leftrightarrow \left| z+5-i \right|=\sqrt{13}\xrightarrow[{}]{{}}$ tập hợp M biểu diễn số phức z thuộc trên đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $C\left( -5;1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{13}$.
Ta có $P={{\left| z+3-9i \right|}^{2}}+{{\left| z-1-5i \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ với $A\left( -3;9 \right)$, $B\left( 1;5 \right)$.
Trong mặt phẳng Oxy chọn điểm I thỏa
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\xrightarrow{{}}I\left( -1;7 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& IA=2\sqrt{2} \\
& IB=2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}=2M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} \right)+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}=16+2M{{I}^{2}}$.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& {{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }}\Leftrightarrow M\equiv {{M}_{1}}\left( -3;4 \right) \\
& {{P}_{\max }}\Leftrightarrow M{{I}_{\max }}\Leftrightarrow M\equiv {{M}_{2}}\left( -7;-2 \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[{}]{{}}\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=-3+4i \\
& {{z}_{2}}=-7-2i \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[{}]{{}}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{13}$.
Đáp án A.