Google
Câu hỏi: Xét các số phức z thỏa mãn $\left( z+2i \right)\left( \overline{z}+2 \right)$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là
A. $\left( 1;-1 \right).$
B. $\left( 1;1 \right).$
C. $\left( -1;1 \right).$
D. $\left( -1;-1 \right).$
A. $\left( 1;-1 \right).$
B. $\left( 1;1 \right).$
C. $\left( -1;1 \right).$
D. $\left( -1;-1 \right).$
Hướng Dẫn. Gọi số phức $z=a+bi,\text{ }\left( a,b \right)\in \mathbb{R}$. Ta có:
$\left( z+2i \right)\left( \overline{z}+2 \right)=\left[ a+\left( b+2 \right)i \right]\left[ (a+2)-bi \right]=\left[ a(a+2)+b(b+2) \right]+\left[ (a+2)(b+2)-ab \right]i$
$(z+2i)(\overline{z}+2)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow a(a+2)+b(b+2)=0\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=2.$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình:
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2.$ Tâm của đường tròn là $I\left( -1;-1 \right).$
$\left( z+2i \right)\left( \overline{z}+2 \right)=\left[ a+\left( b+2 \right)i \right]\left[ (a+2)-bi \right]=\left[ a(a+2)+b(b+2) \right]+\left[ (a+2)(b+2)-ab \right]i$
$(z+2i)(\overline{z}+2)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow a(a+2)+b(b+2)=0\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=2.$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình:
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2.$ Tâm của đường tròn là $I\left( -1;-1 \right).$
Đáp án D.