Xét các số phức z thỏa mãn $\left| z-1 \right|=5.$ Trên mặt phẳng...

Giả sử $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow z-1=a-1+bi\Rightarrow \left| z-1 \right|=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=5.$
Ta có $\overline{z}-1=a-bi-1=a-1-bi\Rightarrow \left| \overline{z}-1 \right|=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=5.$
Biến đổi $w=\left( 2+3i \right)\overline{z}+3+4i\Leftrightarrow w=\left( 2+3i \right)\left( \overline{z}-1 \right)+\left( 2+3i \right)+3+4i.$
$\Leftrightarrow w-\left( 5+7i \right)=\left( 2+3i \right)\left( \overline{z}-1 \right)$
$\Rightarrow \left| w-\left( 5+7i \right) \right|=\left| 2+3i \right|.\left| \overline{z}-1 \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}.5=5\sqrt{13}.$
Giả sử
$w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| x-5+\left( y-7 \right)i \right|=5\sqrt{13}\Leftrightarrow {{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}={{\left( 5\sqrt{13} \right)}^{2}}$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=\left( 2+3i \right)\overline{z}+3+4i$ là đường tròn có tâm $I\left( 5;7 \right)$ và bán kính $R=5\sqrt{13}.$