Xét các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left|...

Gọi ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+i{{b}_{1}};{{z}_{1}}={{a}_{2}}+i{{b}_{2}}$ ; $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}}\in \mathbb{R} \right).$ Gọi $A,B$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ trên mặt phẳng phức.
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}-3i \right|=4\Leftrightarrow \sqrt{a_{1}^{2}+{{\left( {{b}_{1}}-3 \right)}^{2}}}=4\Leftrightarrow a_{1}^{2}+{{\left( {{b}_{1}}-3 \right)}^{2}}=16$ nên $A$ chạy trên đường tròn tâm $I\left( 0;3 \right)$ bán kính $R=4$.
$\left| {{z}_{2}}+2+4i \right|=\left| {{z}_{2}}+2+6i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{a}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{b}_{2}}+4 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{a}_{2}}+2 \right)}^{2}}+{{\left( {{b}_{2}}+6 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( {{b}_{2}}+4 \right)}^{2}}={{\left( {{b}_{2}}+6 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{b}_{2}}=-5$ nên $B$ chạy trên đường thẳng $\Delta :y+5=0$.
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|=\left| \overrightarrow{BA} \right|=AB$
Ta có: $d\left( I,\Delta \right)=\dfrac{\left| 3+5 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}}=8>R$
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\in \left( C \right) \\
& B\in \Delta \\
& AB\text{ min} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow AB=d\left( I,\Delta \right)-R=4$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng $4$.