Xét các số nguyên dương $a,$ $b$ sao cho phương trình $a{{\ln...

Điều kiện $x>0$, điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $b^2>20a$.
Đặt $t=\ln x,u=\log x$ khi đó ta được $a{t}^2+bt+5=0(1)$, $5u^2+bu+a=0(2)$.
Ta thấy với mỗi một nghiệm $t$ thì có một nghiệm $x$, một $u$ thì có một $x$.
Ta có $x_1.x_2=e^{t_1}.e^{t_2}=e^{t_1+t_2}=e^{-{\displaystyle \frac{b}{a}}}$, $x_3.x_4={10}^{u_1+u_2}={10}^{-{\displaystyle \frac{b}{5}}}$, lại có $x_1{x}_2>x_3{x}_4\iff e^{-{\displaystyle \frac{b}{a}}}>{10}^{-{\displaystyle \frac{b}{5}}}$
$\Rightarrow -{\displaystyle \frac{b}{a}}>-{\displaystyle \frac{b}{5}}\ln 10\iff a>{\displaystyle \frac{5}{\ln 10}}\iff a\ge 3$ ( do $a,b$ nguyên dương), suy ra $b^2>60\Rightarrow b\ge 8$.
Vậy $S=2a+3b\ge 2.3+3.8=30$,suy ra $S_{min}=30$ đạt được $a=3,b=8$.