Google
Câu hỏi: Xét các số nguyên dương $a,$ $b$ sao cho phương trình $a{{\ln }^{2}}x+b\ln x+5=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},$ ${{x}_{2}}$ và phương trình $5{{\log }^{2}}x+b\log x+a=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{3}},$ ${{x}_{4}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}$. Tính giá trị nhỏ nhất ${{S}_{\min }}$ của $S=2a+3b$.
A. ${{S}_{\min }}=30$.
B. ${{S}_{\min }}=25$.
C. ${{S}_{\min }}=33$.
D. ${{S}_{\min }}=17$.
A. ${{S}_{\min }}=30$.
B. ${{S}_{\min }}=25$.
C. ${{S}_{\min }}=33$.
D. ${{S}_{\min }}=17$.
Điều kiện $x>0$, điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là ${{b}^{2}}>20a$.
Đặt $t=\ln x,u=\log x$ khi đó ta được $a{{t}^{2}}+bt+5=0 (1)$, $5{{u}^{2}}+bu+a=0(2)$.
Ta thấy với mỗi một nghiệm $t$ thì có một nghiệm $x$, một $u$ thì có một $x$.
Ta có ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{e}^{{{t}_{1}}}}.{{e}^{{{t}_{2}}}}={{e}^{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}}={{e}^{-\dfrac{b}{a}}}$, ${{x}_{3}}.{{x}_{4}}={{10}^{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}}}={{10}^{-\dfrac{b}{5}}}$, lại có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}\Leftrightarrow {{e}^{-\dfrac{b}{a}}}>{{10}^{-\dfrac{b}{5}}}$
$\Rightarrow -\dfrac{b}{a}>-\dfrac{b}{5}\ln 10\Leftrightarrow a>\dfrac{5}{\ln 10}\Leftrightarrow a\ge 3$ ( do $a,b$ nguyên dương), suy ra ${{b}^{2}}>60\Rightarrow b\ge 8$.
Vậy $S=2a+3b\ge 2.3+3.8=30$,suy ra ${{S}_{\min }}=30$ đạt được $a=3,b=8$.
Đặt $t=\ln x,u=\log x$ khi đó ta được $a{{t}^{2}}+bt+5=0 (1)$, $5{{u}^{2}}+bu+a=0(2)$.
Ta thấy với mỗi một nghiệm $t$ thì có một nghiệm $x$, một $u$ thì có một $x$.
Ta có ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{e}^{{{t}_{1}}}}.{{e}^{{{t}_{2}}}}={{e}^{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}}={{e}^{-\dfrac{b}{a}}}$, ${{x}_{3}}.{{x}_{4}}={{10}^{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}}}={{10}^{-\dfrac{b}{5}}}$, lại có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}>{{x}_{3}}{{x}_{4}}\Leftrightarrow {{e}^{-\dfrac{b}{a}}}>{{10}^{-\dfrac{b}{5}}}$
$\Rightarrow -\dfrac{b}{a}>-\dfrac{b}{5}\ln 10\Leftrightarrow a>\dfrac{5}{\ln 10}\Leftrightarrow a\ge 3$ ( do $a,b$ nguyên dương), suy ra ${{b}^{2}}>60\Rightarrow b\ge 8$.
Vậy $S=2a+3b\ge 2.3+3.8=30$,suy ra ${{S}_{\min }}=30$ đạt được $a=3,b=8$.
Đáp án A.