Xét các hình chóp $S . A B C D$ thỏa mãn các điều kiện: đáy ABCD là...

The Knowledge · 16/1/22

Câu hỏi: Xét các hình chóp

S . A B C D

thỏa mãn các điều kiện: đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(S B C)

bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất

V_{0}

khi cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

(A B C D)

bằng

\sqrt{\frac{p}{q}}

, trong đó p, q là các số nguyên dương và phân số

\frac{p}{q}

là tối giản. Tính

T = (p + q) . V_{0}

A.

T = 3 \sqrt{3} a^{3}

B.

T = \sqrt{6} a^{3}

C.

T = 2 \sqrt{3} a^{3}

D.

T = \frac{5 \sqrt{3}}{2} a^{3}

Ta có

B C ⊥ A B; B C ⊥ S A

nên

B C ⊥ (S A B)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Khi đó

A H ⊥ (S B C)

và

d (A, (S B C)) = A H

Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

(A B C D)

là
góc

\hat{S B A}

. Đặt

\hat{S B A} = α

.
Theo giả thiết ta có

A B = \frac{a}{\sin α}; S A = \frac{a}{\cos α}

Suy ra

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3 \sin^{2} α . c o s α} a^{3}

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\sin^{2} α . \sin^{2} α .2 \cos^{2} α \leq {(\frac{\sin^{2} α + \sin^{2} α + 2 \cos^{2} α}{3})}^{3} = \frac{8}{27}

Suy ra

\sin^{2} α \cos α \leq \frac{2 \sqrt{3}}{9}

. Do đó

V \geq \frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}

Dấu bằng xảy ra khi

\sin^{2} α = 2 \cos^{2} α \Rightarrow \cos α = \sqrt{\frac{1}{3}}

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng

\frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}

khi

\cos α = \sqrt{\frac{1}{3}}

Suy ra

V_{0} = \frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}; p = 1, q = 3 \Rightarrow T = (p + q) V_{0} = 2 \sqrt{3} a^{3}

.

Đáp án C.

Xét các hình chóp S.ABCD thỏa mãn các điều kiện: đáy ABCD là...