Google
Câu hỏi: Xét các hình chóp $S.ABCD$ thỏa mãn các điều kiện: đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất ${{V}_{0}}$ khi cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng $\sqrt{\dfrac{p}{q}}$, trong đó p, q là các số nguyên dương và phân số $\dfrac{p}{q}$ là tối giản. Tính $T=\left( p+q \right).{{V}_{0}}$
A. $T=3\sqrt{3}{{a}^{3}}$
B. $T=\sqrt{6}{{a}^{3}}$
C. $T=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $T=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$
Ta có $BC\bot AB;BC\bot SA$ nên $BC\bot \left( SAB \right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Khi đó $AH\bot \left( SBC \right)$ và $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$
Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là
góc $\widehat{SBA}$. Đặt $\widehat{SBA}=\alpha $.
Theo giả thiết ta có $AB=\dfrac{a}{\sin \alpha };SA=\dfrac{a}{\cos \alpha }$
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3{{\sin }^{2}}\alpha .cos\alpha }{{a}^{3}}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: ${{\sin }^{2}}\alpha .{{\sin }^{2}}\alpha .2{{\cos }^{2}}\alpha \le {{\left( \dfrac{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha +2{{\cos }^{2}}\alpha }{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8}{27}$
Suy ra ${{\sin }^{2}}\alpha \cos \alpha \le \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$. Do đó $V\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$
Dấu bằng xảy ra khi ${{\sin }^{2}}\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha \Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$ khi $\cos \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
Suy ra ${{V}_{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}};p=1,q=3\Rightarrow T=\left( p+q \right){{V}_{0}}=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
A. $T=3\sqrt{3}{{a}^{3}}$
B. $T=\sqrt{6}{{a}^{3}}$
C. $T=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $T=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$
Ta có $BC\bot AB;BC\bot SA$ nên $BC\bot \left( SAB \right)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Khi đó $AH\bot \left( SBC \right)$ và $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH$
Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là
góc $\widehat{SBA}$. Đặt $\widehat{SBA}=\alpha $.
Theo giả thiết ta có $AB=\dfrac{a}{\sin \alpha };SA=\dfrac{a}{\cos \alpha }$
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3{{\sin }^{2}}\alpha .cos\alpha }{{a}^{3}}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: ${{\sin }^{2}}\alpha .{{\sin }^{2}}\alpha .2{{\cos }^{2}}\alpha \le {{\left( \dfrac{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha +2{{\cos }^{2}}\alpha }{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8}{27}$
Suy ra ${{\sin }^{2}}\alpha \cos \alpha \le \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$. Do đó $V\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$
Dấu bằng xảy ra khi ${{\sin }^{2}}\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha \Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}}$ khi $\cos \alpha =\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
Suy ra ${{V}_{0}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}};p=1,q=3\Rightarrow T=\left( p+q \right){{V}_{0}}=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án C.