Google
Câu hỏi: Xét a, b thỏa mãn $a\ge {{b}^{2}}$ và $b>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\log }_{\dfrac{a}{b}}}a+{{\log }_{b}}\dfrac{a}{b}$.
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{1}{3}$
B. ${{P}_{\min }}=1$
C. ${{P}_{\min }}=3$
D. ${{P}_{\min }}=9$
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{1}{3}$
B. ${{P}_{\min }}=1$
C. ${{P}_{\min }}=3$
D. ${{P}_{\min }}=9$
Từ điều kiện, suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a>1 \\
& b>1 \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ P=\dfrac{1}{1-{{\log }_{a}}b}+\dfrac{1-{{\log }_{a}}b}{{{\log }_{a}}b}$
Suy ra $P=\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1-t}{t}=f\left( t \right)$
Đặt $t={{\log }_{a}}b>0$. Do $a\ge {{b}^{2}}\to {{\log }_{b}}a\ge {{\log }_{b}}{{b}^{2}}=2\to t={{\log }_{a}}b\le \dfrac{1}{2}$.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $P=\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{t}-1\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{\left( 1-t \right)t}}\ge 2.2-1=3$.
Dấu bằng xảy ra khi $1-t=t\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$ (TM).
& a>1 \\
& b>1 \\
\end{aligned} \right. $. Ta có $ P=\dfrac{1}{1-{{\log }_{a}}b}+\dfrac{1-{{\log }_{a}}b}{{{\log }_{a}}b}$
Suy ra $P=\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1-t}{t}=f\left( t \right)$
Đặt $t={{\log }_{a}}b>0$. Do $a\ge {{b}^{2}}\to {{\log }_{b}}a\ge {{\log }_{b}}{{b}^{2}}=2\to t={{\log }_{a}}b\le \dfrac{1}{2}$.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $P=\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{t}-1\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{\left( 1-t \right)t}}\ge 2.2-1=3$.
Dấu bằng xảy ra khi $1-t=t\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$ (TM).
Đáp án C.