Google
Câu hỏi: Xác định các giá trị của tham số thực $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+mx-m$ có các điểm cực đại và cực tiểu $A$ và $B$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $C\left( \dfrac{2}{3};0 \right)$.
A. $m=\dfrac{1}{3}.$
B. $m=\dfrac{1}{2}.$
C. $m=\dfrac{1}{6}.$
D. $m=\dfrac{1}{4}.$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2x+m$.
Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow {y}'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow 1-m>0\Leftrightarrow m<1$.
Khi đó ${y}'=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt khác phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $y=\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right)x-\dfrac{2m}{3}$.
Do đó tọa độ 2 điểm cực trị $A,B$ là: $A\left( {{x}_{1}};\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{1}}-\dfrac{2m}{3} \right),B\left( {{x}_{2}};\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{2}}-\dfrac{2m}{3} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left( \dfrac{2}{3}-{{x}_{1}};-\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{1}}+\dfrac{2m}{3} \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( \dfrac{2}{3}-{{x}_{2}};-\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{2}}+\dfrac{2m}{3} \right)$.
$\Delta ABC$ vuông tại $C$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{2}{3}-{{x}_{1}} \right)\left( \dfrac{2}{3}-{{x}_{2}} \right)+\left( -\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{1}}+\dfrac{2m}{3} \right)\left( -\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{2}}+\dfrac{2m}{3} \right)=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}-\dfrac{2}{3}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}-\dfrac{2m}{9}\left( 2m-2 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\dfrac{4{{m}^{2}}}{9}=0 \\
& \Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-8m+13 \right){{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( 4{{m}^{2}}-4m+6 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4{{m}^{2}}+4=0 \\
& \Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-8m+13 \right).m-\left( 4{{m}^{2}}-4m+6 \right).2+4{{m}^{2}}+4=0 \\
& \Leftrightarrow 4{{m}^{3}}-12{{m}^{2}}+21m-8=0 \\
& \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện suy ra $m=\dfrac{1}{2}$ thỏa yêu cầu bài toán.
A. $m=\dfrac{1}{3}.$
B. $m=\dfrac{1}{2}.$
C. $m=\dfrac{1}{6}.$
D. $m=\dfrac{1}{4}.$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2x+m$.
Hàm số có 2 điểm cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow {y}'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'>0\Leftrightarrow 1-m>0\Leftrightarrow m<1$.
Khi đó ${y}'=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ với $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m \\
\end{aligned} \right.$.
Mặt khác phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $y=\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right)x-\dfrac{2m}{3}$.
Do đó tọa độ 2 điểm cực trị $A,B$ là: $A\left( {{x}_{1}};\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{1}}-\dfrac{2m}{3} \right),B\left( {{x}_{2}};\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{2}}-\dfrac{2m}{3} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left( \dfrac{2}{3}-{{x}_{1}};-\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{1}}+\dfrac{2m}{3} \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( \dfrac{2}{3}-{{x}_{2}};-\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{2}}+\dfrac{2m}{3} \right)$.
$\Delta ABC$ vuông tại $C$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{2}{3}-{{x}_{1}} \right)\left( \dfrac{2}{3}-{{x}_{2}} \right)+\left( -\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{1}}+\dfrac{2m}{3} \right)\left( -\dfrac{1}{3}\left( 2m-2 \right){{x}_{2}}+\dfrac{2m}{3} \right)=0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}-\dfrac{2}{3}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}-\dfrac{2m}{9}\left( 2m-2 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+\dfrac{4{{m}^{2}}}{9}=0 \\
& \Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-8m+13 \right){{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( 4{{m}^{2}}-4m+6 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4{{m}^{2}}+4=0 \\
& \Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-8m+13 \right).m-\left( 4{{m}^{2}}-4m+6 \right).2+4{{m}^{2}}+4=0 \\
& \Leftrightarrow 4{{m}^{3}}-12{{m}^{2}}+21m-8=0 \\
& \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện suy ra $m=\dfrac{1}{2}$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.