Google
Câu hỏi: Với $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=55,$ số hạng không chứa $x$ trong khai triển của nhị thức ${{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}$ bằng
A. 322560.
B. 3360.
C. 80640.
D. 13440.
A. 322560.
B. 3360.
C. 80640.
D. 13440.
Điều kiện $n\ge 2$ và $n\in \mathbb{Z}$. Ta có $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=55\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-1 \right)!}+\dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!2!}=55$
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-110=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=10 \\
& n=-11\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $n=10$ ta có khai triển ${{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}.$
Số hạng tổng quát của khai triển $C_{10}^{k}{{x}^{3\left( 10-k \right)}}.{{\left( \dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}=C_{10}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{30-5k}}$, với $0\le k\le 10.$
Số hạng không chứa $x$ ứng với $k$ thỏa mãn $30-5k=0\Leftrightarrow k=6.$
Vậy số hạng không chứa $x$ là $C_{10}^{6}{{2}^{6}}=13440.$
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-110=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=10 \\
& n=-11\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $n=10$ ta có khai triển ${{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}.$
Số hạng tổng quát của khai triển $C_{10}^{k}{{x}^{3\left( 10-k \right)}}.{{\left( \dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}=C_{10}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{30-5k}}$, với $0\le k\le 10.$
Số hạng không chứa $x$ ứng với $k$ thỏa mãn $30-5k=0\Leftrightarrow k=6.$
Vậy số hạng không chứa $x$ là $C_{10}^{6}{{2}^{6}}=13440.$
Đáp án D.