Google
Câu hỏi: Với giá trị thực nào của tham số $m$ thì đường thẳng $y=2x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho $MN$ ngắn nhất ?
A. $m=-3$.
B. $m=3$.
C. $m=-1$.
D. $m=1$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d:y=2x+m$ và đồ thị $\left( C \right)$ hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+1}$ là : $2x+m=\dfrac{x+3}{x+1}$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-3=0$ (*)
Để đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+25>0,\forall m$
Giả sử $M\left( {{x}_{1}},2{{x}_{1}}+m \right),N\left( {{x}_{2}},2{{x}_{2}}+m \right)$ $\Rightarrow MN=\sqrt{5{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}.\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
Theo định lí Viét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{m+1}{2} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó suy ra $MN=\sqrt{5}.\sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}-6m+25}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{{{\left( m-3 \right)}^{2}}+16}$. Vì ${{\left( m-3 \right)}^{2}}\ge 0,\forall m$ nên $MN\ge 2\sqrt{5}$. Vậy $MN$ nhỏ nhất khi $m=3$.
Chú ý : Khi là bài toán này ta có thể làm như sau :
Đáp án A : Thay $m=-3$ vào phương trình $(*)$ có $2{{x}^{2}}-2x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \\
& x=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $M\left( \dfrac{1+\sqrt{13}}{2};\sqrt{13}-2 \right),N\left( \dfrac{1-\sqrt{13}}{2};-\sqrt{13}-2 \right)$ $\Rightarrow MN=\sqrt{65}$
Đáp án B : Thay $m=3$ vào phương trình (*) có $2{{x}^{2}}+4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $M\left( 0;3 \right),N\left( -2;-1 \right)$ $\Rightarrow MN=2\sqrt{5}$
Đáp án C : Thay $m=-1$ vào phương trình (*) có $2{{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$
Suy ra $M\left( \sqrt{2};2\sqrt{2}-1 \right),N\left( -\sqrt{2};-2\sqrt{2}-1 \right)$ $\Rightarrow MN=2\sqrt{10}$
Đáp án D : Thay $m=1$ vào phương trình (*) có $2{{x}^{2}}+2x-2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$
Suy ra $M\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\sqrt{5} \right)$, $N\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};-\sqrt{5} \right)$ $\Rightarrow MN=5$
Từ các kết quả trên độ dài $MN$ ở đáp án B nhỏ nhất nên chọn đáp án B.
A. $m=-3$.
B. $m=3$.
C. $m=-1$.
D. $m=1$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d:y=2x+m$ và đồ thị $\left( C \right)$ hàm số $y=\dfrac{x+3}{x+1}$ là : $2x+m=\dfrac{x+3}{x+1}$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-3=0$ (*)
Để đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+25>0,\forall m$
Giả sử $M\left( {{x}_{1}},2{{x}_{1}}+m \right),N\left( {{x}_{2}},2{{x}_{2}}+m \right)$ $\Rightarrow MN=\sqrt{5{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}.\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$
Theo định lí Viét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{m+1}{2} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó suy ra $MN=\sqrt{5}.\sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}-6m+25}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{{{\left( m-3 \right)}^{2}}+16}$. Vì ${{\left( m-3 \right)}^{2}}\ge 0,\forall m$ nên $MN\ge 2\sqrt{5}$. Vậy $MN$ nhỏ nhất khi $m=3$.
Chú ý : Khi là bài toán này ta có thể làm như sau :
Đáp án A : Thay $m=-3$ vào phương trình $(*)$ có $2{{x}^{2}}-2x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2} \\
& x=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $M\left( \dfrac{1+\sqrt{13}}{2};\sqrt{13}-2 \right),N\left( \dfrac{1-\sqrt{13}}{2};-\sqrt{13}-2 \right)$ $\Rightarrow MN=\sqrt{65}$
Đáp án B : Thay $m=3$ vào phương trình (*) có $2{{x}^{2}}+4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $M\left( 0;3 \right),N\left( -2;-1 \right)$ $\Rightarrow MN=2\sqrt{5}$
Đáp án C : Thay $m=-1$ vào phương trình (*) có $2{{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$
Suy ra $M\left( \sqrt{2};2\sqrt{2}-1 \right),N\left( -\sqrt{2};-2\sqrt{2}-1 \right)$ $\Rightarrow MN=2\sqrt{10}$
Đáp án D : Thay $m=1$ vào phương trình (*) có $2{{x}^{2}}+2x-2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$
Suy ra $M\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\sqrt{5} \right)$, $N\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};-\sqrt{5} \right)$ $\Rightarrow MN=5$
Từ các kết quả trên độ dài $MN$ ở đáp án B nhỏ nhất nên chọn đáp án B.
Đáp án B.