Google
Câu hỏi: Với a là tham số thực để bất phương trình ${{2}^{x}}+{{3}^{x}}\ge ax+2$ có tập nghiệm là $\mathbb{R},$ khi đó.
A. $a\in \left( -\infty ;0 \right).$
B. $a\in \left( 1;3 \right).$
C. $a\in \left( 3;+\infty \right).$
D. $a\in \left( 0;1 \right).$
A. $a\in \left( -\infty ;0 \right).$
B. $a\in \left( 1;3 \right).$
C. $a\in \left( 3;+\infty \right).$
D. $a\in \left( 0;1 \right).$
Xét trường hợp ${{R}_{2}}=\sqrt{6},$ phương trình không nhận các giá trị âm của ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=9$ làm nghiệm.
Thật vậy, khi đó ${{I}_{3}}=\left( -1;0;4 \right)$ mà ${{R}_{3}}=3.$
Suy ra loại $M\left( x;y;z \right).$
Xét trường hợp $M{{X}^{2}}={{I}_{1}}{{M}^{2}}-R_{1}^{2}$
$M{{X}^{2}}={{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}-5.$
Đặt $\Leftrightarrow ,M{{Y}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}-6.$
Khi đó ${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3-a,\forall x\in \mathbb{R}.$
$M{{Z}^{2}}={{I}_{3}}{{M}^{2}}-R_{3}^{2}$
Đặt $\Leftrightarrow .$
$M{{Z}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}-9.$
Suy ra hàm số $MX=MY$ đồng biến trên $\Leftrightarrow .$
Lại có $M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}}$ và $\Leftrightarrow $
Suy ra với mỗi giá trị $5x-3y+3z+7=0$ thì phương trình M luôn có nghiệm duy nhất là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 5;-3;3 \right).$
Ta có phương trình $MY=MZ$ có nghiệm duy nhất là
Mà $M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}}$ và $\Leftrightarrow $ nên $2x-4y-2z+1=0$ và M.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $2x-4y-2z+1=0,$ ta kết hợp với điều kiện đề bài là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 2;-4;-2 \right)$ và $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right]=\left( 8;16;-14 \right)$ nên ta suy ra M và $\left( 9;8;-7 \right)$ là giá trị duy nhất để ${y}'=\left( 2-2x \right).{f}'\left( 2x-{{x}^{2}} \right)=0.$
Suy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& 2x-{{x}^{2}}=-4 \\
& 2x-{{x}^{2}}=1 \\
& 2x-{{x}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ là giá trị duy nhất để $ D=\left( -m;+\infty \right) $ $ t={{\log }_{3}}\left( x+m \right)$
$\left( 3x-5 \right){{t}^{2}}+\left( 9x-19 \right)t-12=0.$
Suy ra $\left( 3x-5 \right){{t}^{2}}+\left( 9x-15 \right)t-4t-12=0.$
Như vậy $\left( 3x-5 \right)t\left( t+3 \right)-4\left( t+3 \right)=0$ là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Suy ra mệnh đề đúng là $\Leftrightarrow \left( t+3 \right)\left[ \left( 3x-5 \right)t-4 \right]=0.$
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số sau khi cô lập để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Thật vậy, khi đó ${{I}_{3}}=\left( -1;0;4 \right)$ mà ${{R}_{3}}=3.$
Suy ra loại $M\left( x;y;z \right).$
Xét trường hợp $M{{X}^{2}}={{I}_{1}}{{M}^{2}}-R_{1}^{2}$
$M{{X}^{2}}={{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}-5.$
Đặt $\Leftrightarrow ,M{{Y}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}-6.$
Khi đó ${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3-a,\forall x\in \mathbb{R}.$
$M{{Z}^{2}}={{I}_{3}}{{M}^{2}}-R_{3}^{2}$
Đặt $\Leftrightarrow .$
$M{{Z}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}-9.$
Suy ra hàm số $MX=MY$ đồng biến trên $\Leftrightarrow .$
Lại có $M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}}$ và $\Leftrightarrow $
Suy ra với mỗi giá trị $5x-3y+3z+7=0$ thì phương trình M luôn có nghiệm duy nhất là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 5;-3;3 \right).$
Ta có phương trình $MY=MZ$ có nghiệm duy nhất là
Mà $M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}}$ và $\Leftrightarrow $ nên $2x-4y-2z+1=0$ và M.
Bảng biến thiên
Suy ra $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& 2x-{{x}^{2}}=-4 \\
& 2x-{{x}^{2}}=1 \\
& 2x-{{x}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right. $ là giá trị duy nhất để $ D=\left( -m;+\infty \right) $ $ t={{\log }_{3}}\left( x+m \right)$
$\left( 3x-5 \right){{t}^{2}}+\left( 9x-19 \right)t-12=0.$
Suy ra $\left( 3x-5 \right){{t}^{2}}+\left( 9x-15 \right)t-4t-12=0.$
Như vậy $\left( 3x-5 \right)t\left( t+3 \right)-4\left( t+3 \right)=0$ là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Suy ra mệnh đề đúng là $\Leftrightarrow \left( t+3 \right)\left[ \left( 3x-5 \right)t-4 \right]=0.$
Note 49: Phương pháp chung
Bước 1: Chia trường hợp của biến số và thực hiện các phép biến đổi để cô lập tham số m.Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số sau khi cô lập để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Đáp án C.