Với a là tham số thực để bất phương trình ${{2}^{x}}+{{3}^{x}}\ge...

Xét trường hợp , phương trình không nhận các giá trị âm của x làm nghiệm.
Thật vậy, khi đó mà .
Suy ra loại .
Xét trường hợp
.
Đặt , .
Khi đó , .
.
Đặt , .
, .
Suy ra hàm số đồng biến trên .
Lại có và .
Suy ra với mỗi giá trị thì phương trình luôn có nghiệm duy nhất là .
Ta có phương trình có nghiệm duy nhất là .
Mà và nên , và ,
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạt giá trị nhỏ nhất tại , ta kết hợp với điều kiện đề bài là , và suy ra và là giá trị duy nhất để .
Suy ra là giá trị duy nhất để
.
Suy ra .
Như vậy a là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Suy ra mệnh đề đúng là .