Google
Câu hỏi: Với a là tham số thực để bất phương trình ${{2}^{x}}+{{3}^{x}}\ge ax+2$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi đó
A. $a\in \left( -\infty ;0 \right)$.
B. $a\in \left( 1;3 \right)$.
C. $a\in \left( 3;+\infty \right)$.
D. $a\in \left( 0;1 \right)$
A. $a\in \left( -\infty ;0 \right)$.
B. $a\in \left( 1;3 \right)$.
C. $a\in \left( 3;+\infty \right)$.
D. $a\in \left( 0;1 \right)$
Xét trường hợp $a\le 0$, phương trình không nhận các giá trị âm của x làm nghiệm.
Thật vậy, khi đó ${{2}^{x}}+{{3}^{x}}<2$ mà $ax+2\ge 2$.
Suy ra loại $a\le 0$.
Xét trường hợp $a>0$
${{2}^{x}}+{{3}^{x}}\ge ax+2\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{3}^{x}}-ax-2\ge 0$.
Đặt $f\left( x \right)={{2}^{x}}+{{3}^{x}}-ax-2$, $x\in \mathbb{R}$.
Khi đó ${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3-a$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3=a$ $\left( 1 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
${g}'\left( x \right)={{2}^{x}}{{\ln }^{2}}2+{{3}^{x}}{{\ln }^{2}}3>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Lại có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=0$.
Suy ra với mỗi giá trị $a>0$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có nghiệm duy nhất là ${{x}_{0}}$.
Ta có phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất là ${{x}_{0}}$.
Mà $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=+\infty $ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=-a<0$ nên ${f}'\left( x \right)>0$, $\forall x>{{x}_{0}}$ và ${f}'\left( x \right)<0$, $\forall x<{{x}_{0}}$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại ${{x}_{0}}$, ta kết hợp với điều kiện đề bài là $f\left( x \right)\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=0$ suy ra ${{x}_{0}}=0$ và ${{x}_{0}}=0$ là giá trị duy nhất để $f\left( x \right)=0$.
Suy ra ${{x}_{0}}=0$ là giá trị duy nhất để ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0$
$\Rightarrow {f}'\left( 0 \right)=\ln 2+\ln 3-a=0$.
Suy ra $a=\ln 2+\ln 3=\ln 6$.
Như vậy a là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Suy ra mệnh đề đúng là $a\in \left( 1;3 \right)$.
Thật vậy, khi đó ${{2}^{x}}+{{3}^{x}}<2$ mà $ax+2\ge 2$.
Suy ra loại $a\le 0$.
Xét trường hợp $a>0$
${{2}^{x}}+{{3}^{x}}\ge ax+2\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{3}^{x}}-ax-2\ge 0$.
Đặt $f\left( x \right)={{2}^{x}}+{{3}^{x}}-ax-2$, $x\in \mathbb{R}$.
Khi đó ${f}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3-a$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3=a$ $\left( 1 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+{{3}^{x}}\ln 3$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
${g}'\left( x \right)={{2}^{x}}{{\ln }^{2}}2+{{3}^{x}}{{\ln }^{2}}3>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Lại có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=+\infty $ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=0$.
Suy ra với mỗi giá trị $a>0$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có nghiệm duy nhất là ${{x}_{0}}$.
Ta có phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có nghiệm duy nhất là ${{x}_{0}}$.
Mà $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=+\infty $ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=-a<0$ nên ${f}'\left( x \right)>0$, $\forall x>{{x}_{0}}$ và ${f}'\left( x \right)<0$, $\forall x<{{x}_{0}}$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại ${{x}_{0}}$, ta kết hợp với điều kiện đề bài là $f\left( x \right)\ge 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=0$ suy ra ${{x}_{0}}=0$ và ${{x}_{0}}=0$ là giá trị duy nhất để $f\left( x \right)=0$.
Suy ra ${{x}_{0}}=0$ là giá trị duy nhất để ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0$
$\Rightarrow {f}'\left( 0 \right)=\ln 2+\ln 3-a=0$.
Suy ra $a=\ln 2+\ln 3=\ln 6$.
Như vậy a là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Suy ra mệnh đề đúng là $a\in \left( 1;3 \right)$.
Đáp án C.