Với a là tham số thực để bất phương trình ${{2}^{x}}+{{3}^{x}}\ge...

Xét trường hợp $a\le 0$, phương trình không nhận các giá trị âm của x làm nghiệm.
Thật vậy, khi đó $2^x+3^x<2$ mà $ax+2\ge 2$.
Suy ra loại $a\le 0$.
Xét trường hợp $a>0$
$2^x+3^x\ge ax+2\iff 2^x+3^x-ax-2\ge 0$.
Đặt $f\left(x\right)=2^x+3^x-ax-2$, $x\in \mathbb{R}$.
Khi đó $f^{\prime }\left(x\right)=2^x\ln 2+3^x\ln 3-a$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 2^x\ln 2+3^x\ln 3=a$ $\left(1\right)$.
Đặt $g\left(x\right)=2^x\ln 2+3^x\ln 3$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
$g^{\prime }\left(x\right)=2^x{\ln }^{2}2+3^x{\ln }^{2}3>0$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $g\left(x\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Lại có $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}g\left(x\right)=0$.
Suy ra với mỗi giá trị $a>0$ thì phương trình $\left(1\right)$ luôn có nghiệm duy nhất là $x_0$.
Ta có phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có nghiệm duy nhất là $x_0$.
Mà $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ và $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{f}^{\prime }\left(x\right)=-a<0$ nên $f^{\prime }\left(x\right)>0$, $\mathrm{\forall }x>x_0$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$, $\mathrm{\forall }x<x_0$
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left(x\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_0$, ta kết hợp với điều kiện đề bài là $f\left(x\right)\ge 0$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ và $f\left(0\right)=0$ suy ra $x_0=0$ và $x_0=0$ là giá trị duy nhất để $f\left(x\right)=0$.
Suy ra $x_0=0$ là giá trị duy nhất để $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$
$\Rightarrow f^{\prime }\left(0\right)=\ln 2+\ln 3-a=0$.
Suy ra $a=\ln 2+\ln 3=\ln 6$.
Như vậy a là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Suy ra mệnh đề đúng là $a\in (1;3)$.