Google
Câu hỏi: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $\left( C \right):y=\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-1$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d:x+8y=0.$
A. $y=-8x+\dfrac{13}{2}.$
B. $y=8x+\dfrac{13}{2}.$
C. $y=-8x-\dfrac{13}{2}.$
D. $y=8x-\dfrac{13}{2}.$
A. $y=-8x+\dfrac{13}{2}.$
B. $y=8x+\dfrac{13}{2}.$
C. $y=-8x-\dfrac{13}{2}.$
D. $y=8x-\dfrac{13}{2}.$
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có dạng $y={y}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$
Ta có . ${y}'=6{{x}^{3}}+2x\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{0}} \right)=6x_{0}^{3}+2{{x}_{0}}.$
Vì tiếp tuyến của đường cong $\left( C \right):y=\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-1$ vuông góc với đường thẳng $d:x+8y=0$ nên $\left( -\dfrac{1}{8} \right)\left( 6x_{0}^{3}+2{{x}_{0}} \right)=-1\Leftrightarrow 6x_{0}^{3}+2{{x}_{0}}-8=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{3}{2}.$
Vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=8\left( x-1 \right)+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow y=8x-\dfrac{13}{2}.$
Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có dạng $y={y}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$
Ta có . ${y}'=6{{x}^{3}}+2x\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{0}} \right)=6x_{0}^{3}+2{{x}_{0}}.$
Vì tiếp tuyến của đường cong $\left( C \right):y=\dfrac{3}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-1$ vuông góc với đường thẳng $d:x+8y=0$ nên $\left( -\dfrac{1}{8} \right)\left( 6x_{0}^{3}+2{{x}_{0}} \right)=-1\Leftrightarrow 6x_{0}^{3}+2{{x}_{0}}-8=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{3}{2}.$
Vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=8\left( x-1 \right)+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow y=8x-\dfrac{13}{2}.$
Đáp án D.