Google
Câu hỏi: Tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC$ và $AD$ đôi một vuông góc và có độ dài lần lượt là 2, 2 và 3. Gọi $M$ là trung điểm của $DC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $BC$.
A. $\dfrac{\sqrt{22}}{6}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.
Khi đó, $A\left( 0;0;0 \right),$ $B\left( 2;0;0 \right),$ $C\left( 0;2;0 \right),$ $D\left( 0;0;3 \right)$.
Do $M$ là trung điểm của $DC$ nên $M\left( 0;1;\dfrac{3}{2} \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left( 0;1;\dfrac{3}{2} \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( -2;2;0 \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( 2;0;0 \right)$, $\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC} \right]=\left( -3;-3;2 \right)$.
Vậy $d\left( AM,BC \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC} \right].\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC} \right] \right|}=\dfrac{6}{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$.
B. $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
Khi đó, $A\left( 0;0;0 \right),$ $B\left( 2;0;0 \right),$ $C\left( 0;2;0 \right),$ $D\left( 0;0;3 \right)$.
Do $M$ là trung điểm của $DC$ nên $M\left( 0;1;\dfrac{3}{2} \right)$.
Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left( 0;1;\dfrac{3}{2} \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left( -2;2;0 \right)$, $\overrightarrow{AB}=\left( 2;0;0 \right)$, $\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC} \right]=\left( -3;-3;2 \right)$.
Vậy $d\left( AM,BC \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC} \right].\overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC} \right] \right|}=\dfrac{6}{\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}$.
Đáp án B.