Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và

A B = a, A C = 2 a, A D = 3 a

. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác BCD. Qua M kẻ các đường thẳng

d_{1}

song song với AB cắt mặt phẳng

(A C D)

tại

B_{1}

,

d_{2}

song song với AC cắt mặt phẳng

(A B D)

tại

C_{1}

,

d_{3}

song song với AD cắt mặt phẳng

(A B C)

tại

D_{1}

. Thể tích khối tứ diện

M B_{1} C_{1} D_{1}

lớn nhất bằng
A.

\frac{a^{3}}{8}

B.

\frac{a^{3}}{27}

C.

\frac{a^{3}}{9}

D.

\frac{2 a^{3}}{9}

Do AB, AC, AD đôi một vuông góc nên

M C_{1}, M D_{1}, M B_{1}

đôi một vuông góc với nhau.
Khi đó

V_{M B_{1} C_{1} D_{1}} = \frac{1}{6} M B_{1} M C_{1} M D_{1} = \frac{1}{6} x y z

Trong đó

x = M B_{1}, y = M C_{1}, z = M C_{1}

Lại có:

V_{M . A C D} + V_{M . A B C} = V_{A B C D}

\Leftrightarrow \frac{1}{6} M C_{1} . A B . A D + \frac{1}{6} M B_{1} . A C . A D + \frac{1}{6} M D_{1} . A B . A C = \frac{1}{6} A B . A C . A D

\Leftrightarrow 3 z + 6 y + 2 x = 6

(chọn

a = 1

).
Lại có

2 x + 6 y + 3 z \geq 3 \sqrt[3]{2 x .6 y .3 z} \Leftrightarrow 2 \geq \sqrt[3]{36 x y z} = \sqrt[3]{36.6 V} \Rightarrow V \leq \frac{1}{27}

.
Cách 2: Gợi ý: Chọn hệ trục tọa độ với

(B C D) : \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

Suy ra phương trình mặt phẳng

(B C D) : \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

(học sinh giải tiếp).

Đáp án B.