Google
Câu hỏi: Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và $AB=a,AC=2\text{a},A\text{D}=3\text{a}$. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác BCD. Qua M kẻ các đường thẳng ${{d}_{1}}$ song song với AB cắt mặt phẳng $\left( AC\text{D} \right)$ tại ${{B}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ song song với AC cắt mặt phẳng $\left( AB\text{D} \right)$ tại ${{C}_{1}}$, ${{d}_{3}}$ song song với AD cắt mặt phẳng $\left( ABC \right)$ tại ${{D}_{1}}$. Thể tích khối tứ diện $M{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ lớn nhất bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{27}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}$
Do AB, AC, AD đôi một vuông góc nên $M{{C}_{1}},M{{\text{D}}_{1}},M{{B}_{1}}$ đôi một vuông góc với nhau.
Khi đó ${{V}_{M{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{6}M{{B}_{1}}M{{C}_{1}}M{{\text{D}}_{1}}=\dfrac{1}{6}xyz$
Trong đó $x=M{{B}_{1}},y=M{{C}_{1}},z=M{{C}_{1}}$
Lại có: ${{V}_{M.AC\text{D}}}+{{V}_{M.ABC}}={{V}_{ABC\text{D}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}M{{C}_{1}}.AB.A\text{D}+\dfrac{1}{6}M{{B}_{1}}.AC.A\text{D}+\dfrac{1}{6}M{{\text{D}}_{1}}.AB.AC=\dfrac{1}{6}AB.AC.A\text{D}$
$\Leftrightarrow 3\text{z}+6y+2\text{x}=6$ (chọn $a=1$ ).
Lại có $2\text{x}+6y+3\text{z}\ge 3\sqrt[3]{2\text{x}.6y.3\text{z}}\Leftrightarrow 2\ge \sqrt[3]{36\text{x}yz}=\sqrt[3]{36.6V}\Rightarrow V\le \dfrac{1}{27}$.
Cách 2: Gợi ý: Chọn hệ trục tọa độ với $\left( BC\text{D} \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( BC\text{D} \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$ (học sinh giải tiếp).
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{27}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}$
Do AB, AC, AD đôi một vuông góc nên $M{{C}_{1}},M{{\text{D}}_{1}},M{{B}_{1}}$ đôi một vuông góc với nhau.
Khi đó ${{V}_{M{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{6}M{{B}_{1}}M{{C}_{1}}M{{\text{D}}_{1}}=\dfrac{1}{6}xyz$
Trong đó $x=M{{B}_{1}},y=M{{C}_{1}},z=M{{C}_{1}}$
Lại có: ${{V}_{M.AC\text{D}}}+{{V}_{M.ABC}}={{V}_{ABC\text{D}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}M{{C}_{1}}.AB.A\text{D}+\dfrac{1}{6}M{{B}_{1}}.AC.A\text{D}+\dfrac{1}{6}M{{\text{D}}_{1}}.AB.AC=\dfrac{1}{6}AB.AC.A\text{D}$
$\Leftrightarrow 3\text{z}+6y+2\text{x}=6$ (chọn $a=1$ ).
Lại có $2\text{x}+6y+3\text{z}\ge 3\sqrt[3]{2\text{x}.6y.3\text{z}}\Leftrightarrow 2\ge \sqrt[3]{36\text{x}yz}=\sqrt[3]{36.6V}\Rightarrow V\le \dfrac{1}{27}$.
Cách 2: Gợi ý: Chọn hệ trục tọa độ với $\left( BC\text{D} \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( BC\text{D} \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$ (học sinh giải tiếp).
Đáp án B.