Google
Câu hỏi: Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và $AB=a,\ AC=2a,\ AD=3a$. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác BCD. Qua M, kẻ các đường thẳng ${{d}_{1}}$ song song với AB cắt mặt phẳng $\left( ACD \right)$ tại ${{B}_{1}},\ {{d}_{2}}$ song song với AC cắt mặt phẳng $\left( ABD \right)$ tại ${{C}_{1}},\ {{d}_{3}}$ song song với AD cắt mặt phẳng $\left( ABC \right)$ tại ${{D}_{1}}$. Thể tích khối tứ diện $M{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ lớn nhất bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{27}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}$
Do AB, AC, AD đôi một vuông góc nên $M{{C}_{1}},M{{D}_{1}},M{{B}_{1}}$ đôi một vuông góc với nhau.
Khi đó ${{V}_{M{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{6}M{{B}_{1}}M{{C}_{1}}M{{D}_{1}}=\dfrac{1}{6}xyz$.
Trong đó $x=M{{B}_{1}},y=M{{C}_{1}},z=M{{D}_{1}}$.
Lại có:
$\begin{aligned}
& {{V}_{M.ACD}}+{{V}_{M.ABD}}+{{V}_{M.ABC}}={{V}_{ABCD}} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}M{{C}_{1}}.AB.AD+\dfrac{1}{6}M{{B}_{1}}.AC.AD+\dfrac{1}{6}M{{D}_{1}}.AB.AC=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow 3z+6y+2x=6$ (chọn $a=1$ ).
Lại có $2x+6y+3z\ge 3\sqrt[3]{2x.6y.3z}\Leftrightarrow 2\ge \sqrt[3]{36xyz}=\sqrt[3]{36.6V}\Rightarrow V\le \dfrac{1}{27}$.
Cách 2: Gợi ý: Chọn hệ trục tọa độ với $\left( BCD \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( BCD \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$ (học sinh giải tiếp).
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{27}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{9}$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{9}$
Do AB, AC, AD đôi một vuông góc nên $M{{C}_{1}},M{{D}_{1}},M{{B}_{1}}$ đôi một vuông góc với nhau.
Khi đó ${{V}_{M{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\dfrac{1}{6}M{{B}_{1}}M{{C}_{1}}M{{D}_{1}}=\dfrac{1}{6}xyz$.
Trong đó $x=M{{B}_{1}},y=M{{C}_{1}},z=M{{D}_{1}}$.
Lại có:
$\begin{aligned}
& {{V}_{M.ACD}}+{{V}_{M.ABD}}+{{V}_{M.ABC}}={{V}_{ABCD}} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}M{{C}_{1}}.AB.AD+\dfrac{1}{6}M{{B}_{1}}.AC.AD+\dfrac{1}{6}M{{D}_{1}}.AB.AC=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow 3z+6y+2x=6$ (chọn $a=1$ ).
Lại có $2x+6y+3z\ge 3\sqrt[3]{2x.6y.3z}\Leftrightarrow 2\ge \sqrt[3]{36xyz}=\sqrt[3]{36.6V}\Rightarrow V\le \dfrac{1}{27}$.
Cách 2: Gợi ý: Chọn hệ trục tọa độ với $\left( BCD \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( BCD \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$ (học sinh giải tiếp).
Đáp án B.