Google
Câu hỏi: Trong tập các số phức, cho phương trình ${{(z-3)}^{2}}-9+m=0,m\in \mathbb{R} (1)$. Gọi m0 là một giá trị của m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$.Hỏi trong khoảng 0;20 có bao nhiêu giá trị ${{m}_{0}}$ $\mathbb{N}$ ?
A. 13
B. 11.
C. 12.
D. 10.
A. 13
B. 11.
C. 12.
D. 10.
Ta xét phương trình: ${{\left( z-3 \right)}^{2}}=9-{{m}_{0}}$.
TH1: Nếu ${{m}_{0}}=9\Rightarrow z=3$. Hay phương trình chỉ có một nghiệm. Trường hợp này không thỏa điều kiện bài toán.
TH2: Nếu ${{m}_{0}}<9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}=3-\sqrt{9-{{m}_{0}}},{{z}_{2}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}}$
Do: ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}} \right)}^{2}}={{\left( 3+\sqrt{9-{{m}_{0}}} \right)}^{2}}$
$\left[ \begin{aligned}
& 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}} \\
& 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}=-3-\sqrt{9-{{m}_{0}}} \left( VN \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \sqrt{9-{{m}_{0}}}=0\Leftrightarrow {{m}_{0}}=9$ ( thỏa mãn điều kiện).
TH3: Nếu ${{m}_{0}}>9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là:
${{z}_{1}}=3-i\sqrt{{{m}_{0}}-9},{{z}_{2}}=3+i\sqrt{{{m}_{0}}-9}.$
Khi đó ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}={{3}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{m}_{0}}-9} \right)}^{2}}$
Do đó ${{m}_{0}}>9$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do bài toán đòi hỏi $m\in \left( 0;20 \right)$ nên $m\in \left\{ 10;11;...;19 \right\}.$ Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.
TH1: Nếu ${{m}_{0}}=9\Rightarrow z=3$. Hay phương trình chỉ có một nghiệm. Trường hợp này không thỏa điều kiện bài toán.
TH2: Nếu ${{m}_{0}}<9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}=3-\sqrt{9-{{m}_{0}}},{{z}_{2}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}}$
Do: ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}} \right)}^{2}}={{\left( 3+\sqrt{9-{{m}_{0}}} \right)}^{2}}$
$\left[ \begin{aligned}
& 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}} \\
& 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}=-3-\sqrt{9-{{m}_{0}}} \left( VN \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \sqrt{9-{{m}_{0}}}=0\Leftrightarrow {{m}_{0}}=9$ ( thỏa mãn điều kiện).
TH3: Nếu ${{m}_{0}}>9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là:
${{z}_{1}}=3-i\sqrt{{{m}_{0}}-9},{{z}_{2}}=3+i\sqrt{{{m}_{0}}-9}.$
Khi đó ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}={{3}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{m}_{0}}-9} \right)}^{2}}$
Do đó ${{m}_{0}}>9$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do bài toán đòi hỏi $m\in \left( 0;20 \right)$ nên $m\in \left\{ 10;11;...;19 \right\}.$ Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.
Đáp án D.