Trong tập các số phức, cho phương trình $z^2-2(m+1) z+6 m-2=0$ (...

Để phương trình đó cho có hai nghiệm phân biệt $z_1 ; z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$ thì xét
${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+6m-2=0(1)$
Ta có: ${{\Delta }^{\prime }}={{m}^{2}}-4m+3=(m-1)(m-3)$
+) TH1: ${{\Delta }^{\prime }}>0$ $\Leftrightarrow (m-1)(m-3)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right..$
Thì phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt $z_1 ; z_2$
Vậy $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow z_{1}^{2}=z_{2}^{2}$ $\Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=0$
Do $z_1 ; z_2$ là hai nghiệm phân biệt nên suy ra ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0$
Theo Vi-ét: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2\left( m+1 \right)=0\Leftrightarrow m=-1$ (thỏa mãn)
Vậy TH1 có 1 giá trị của m
+) TH $2:{{\Delta }^{\prime }}<0$ $\Leftrightarrow (m-1)(m-3)<0\Leftrightarrow 1<m<3.$
Thì phương trình (1) có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}};{{z}_{2}}\Rightarrow {{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|.$
Vậy TH2 có $m=2$
Vậy tất cả có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn.